119
FIGURÉS.
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1,n)-1&=(1,n-1),\\(2,n)-(1,n)&=(2,n-1),\\(3,n)-(2,n)&=(3,n-1),\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\(m,n)-(m-1,n)&=(m,n-1),\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f5090d8abab932a7ef6de0cc2a2bb4bfedf4b92)
ajoutant ces dernières et réduisant, on aura
(9)
et l’on aurait pareillement
![{\displaystyle (m,n)=(n,m)=(0,m-1)+(1,m-1)+(2,m-1)+\ldots +(n,m-1)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b8bd0288566616aa6cd694f0dcc453618664fe8)
c’est-à-dire, que le
nombre figuré du
ordre, ou le
nombre figuré du
ordre, est égal à la somme des
nombres figurés de tous les ordres jusqu’au
ordre inclusivement ; ou encore à la somme des
premiers nombres figurés du
ordre.
Je terminerai par donner, d’après M. Lhuilier[1], la sommation des inverses des nombres figurés. Il est aisé de se convaincre, par le développement et les réductions, que l’équation suivante est identique
![{\displaystyle {\frac {1}{(m,n-1)}}={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {m!}{(m+n-2)!}}-{\frac {(m+1)!}{(m+n-1)!}}\right\}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4225388786746d86961cd52ea05f66d1f4a704)
(10)
Si l’on y substitue successivement pour
les nombres
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{(0,n-1)}}&={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {1}{(n-2)!}}-{\frac {1!}{(n-1)!}}\right\},\\{\frac {1}{(1,n-1)}}&={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {1!}{(n-1)!}}-{\frac {2!}{n!}}\right\},\\{\frac {1}{(2,n-1)}}&={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {2!}{n!}}-{\frac {3!}{(n+1)!}}\right\},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238832726eb6742ef9d61e548f76e8f28e9a27ff)
- ↑ Voyez ses Élémens raisonnés d’algèbre.