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RÉSOLUTION GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS.

sur quoi il faut remarquer qu’en vertu de l’équation $\rho ^{m}=1,$ on pourra substituer aux exposans de $\rho$ supérieurs à $m-1$ le reste de leur division par $m.$

Si l’on veut appliquer cette méthode à l’équation du troisième degré, sans second terme, $x^{3}+pq+q=0,$

${\begin{aligned}{\text{on posera}}\qquad \qquad \qquad x_{1}&={\frac {1}{3}}\left\{\rho {\sqrt[{3}]{\xi _{1}}}+\rho ^{2}{\sqrt[{3}]{\xi _{2}}}\right\},\\x_{2}&={\frac {1}{3}}\left\{\rho ^{2}{\sqrt[{3}]{\xi _{1}}}+\rho {\sqrt[{3}]{\xi _{2}}}\right\},\\x_{3}&={\frac {1}{3}}\left\{\rho ^{3}{\sqrt[{3}]{\xi _{1}}}+{\sqrt[{3}]{\xi _{2}}}\right\}\,;\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\text{il viendra ainsi}}\qquad \qquad \xi _{1}&=\left(\rho ^{2}x_{1}+\rho x_{2}+x_{3}\right)^{3},\\\xi _{2}&=\left(\rho x_{1}+\rho ^{2}x_{2}+x_{3}\right)^{3}\,;\\\end{aligned}}$

d’où on conclura, en développant, et faisant usage de l’équation $1+\rho +\rho ^{2}=0,$

$\xi _{1}+\xi _{2}=\left\{{\begin{aligned}&\quad 2\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}\right)\\&-3\left(x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}+x_{1}x_{3}^{2}+x_{2}^{2}x_{3}+x_{2}x_{3}^{2}\right)\\&+12x_{1}x_{2}x_{3},\\\end{aligned}}\right.$

$\xi _{1}\xi _{2}=\left\{\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)-\left(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\right)\right\}^{3}\,;$

remplaçant les fonctions symétriques des racines de la proposée par les fonctions équivalentes des coefficiens $p$ et $q,$ il viendra

$\xi _{1}+\xi _{2}=-27q\quad ,\quad \xi _{1}\xi _{2}=-27p^{3}\,;$

la réduite cherchée sera donc

$\xi ^{2}+27q\xi -27p^{3}=0.$

Maintenant donc que M. Wronski a entre les mains un moyen beaucoup plus court, et peut-être plus direct que le sien, pour former ses diverses réduites, c’est à lui de voir si, en effet, ses principes se vérifient au delà du troisième degré, il ne s’agit ici, j’en conviens, que d’un travail purement mécanique ; mais ce travail est néanmoins nécessaire pour légitimer à nos yeux les méthodes de M. Wronski, jusqu’à ce qu’il nous ait clairement développé les principes sur lesquels il les a fondées.