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ÉQUATIONS LINÉAIRES.

ce qui donne $\mathrm {d^{n}} u=0\,;$ et, en intégrant,

$u=a'+a''x+a'''x^{2}+\ldots +a^{(n)}.x^{n-1}\,;$

donc

$y=u.e^{mx}=\left(a'+a''x+a'''x^{2}+\ldots +a^{(n)}.x^{n-1}\right).e^{mx}\,;$

valeur qui, renfermant $n$ constantes arbitraires, est l’intégrale complette de la proposée (P).

§. II. Cas où quelques racines seulement sont égales.

Lorsqu’il n’y a que $p$ racines de l’équation (Q) qui soient égales entre elles et à $m$ ; $n$ étant supposé égal à $p+q$ l’intégrale se réduit à

$y=\left(a'+a''+\ldots +a^{(p)}\right).e^{mx}+a^{(p+1)}.e^{m^{(p+1)x}}+\ldots +a^{(p+q)}.e^{m^{(p+q)x}}\,;$

ou

$y=\alpha .e^{mx}+a^{(p+1)}.e^{m^{(p+1)x}}+\ldots +a^{(p+q)}.e^{m^{(p+q)x}}\,;$

intégrale qui n’est que particulière, puisqu’au lieu de $n$ ou $p+q$ constantes arbitraires, elle n’en renferme que $1+q.$

Dans ce cas, l’équation (Q) revient à

$\left(m-m^{p}\right).\left(m-m^{(p+1)}\right)\ldots \left(m-m^{(p+q)}\right)=0.$

Considérons séparément le premier facteur, et posons l’équation

$m^{p}+A'm^{p-1}+B'm^{p-2}+\ldots +H'=0.\qquad \mathrm {(Q')}$

Il est évident, par le cas général que nous venons de traiter, que cette équation se rapporte à l’équation différentielle

$\mathrm {d^{p}} y+A'\mathrm {d^{p-1}} y.dx+B'\mathrm {d^{p-2}} y.dx^{2}+\ldots +H'y.dx^{p}=0.\qquad \mathrm {(P')}$

dont toutes les solutions $y=e^{mx}$ seraient égales entre elles ; en sorte que son intégrale se présenterait sous la forme particulière $y=\alpha e^{mx}.$

Si donc, en raisonnant comme dans le cas général, nous instituons les mêmes calculs, nous trouverons, pour l’intégrale complette de cette équation (P′),