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RÉSOLUES.

Or, à $z=0$ doit répondre $X_{z}=\alpha$ ; donc

$\alpha =a{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}+C\,\quad$d’où$\quad C={\frac {\alpha b-\beta a}{a+b}}\,$

et par conséquent

$X_{z}=a{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}+{\frac {\alpha b-\beta a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{z}.$

D’après cela, si l’on dénote simplement par $X,Y$ les quantités d’eau, et par $X',Y'$ les quantités de vin contenues respectivement dans les deux vases $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B,}$ après la $n^{me}$ opération ; et si en outre $\alpha '$ et $\beta '$ sont les quantités de vin que renfermaient ces deux vases, avant la première opération ; en observant que

${\begin{aligned}X+X'=\alpha +\alpha '=a&,\qquad X+Y=\alpha +\beta ,\\Y+Y'=\beta +\beta '=b&,\qquad X'+Y'=\alpha '+\beta ',\\\end{aligned}}$

on trouvera

${\begin{aligned}X&=a{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}+{\frac {\alpha b-\beta a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n},\\X'&=a{\frac {\alpha '+\beta '}{a+b}}+{\frac {\alpha 'b-\beta 'a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n},\\Y&=b{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}-{\frac {\alpha b-\beta a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n},\\Y'&=b{\frac {\alpha '+\beta '}{a+b}}-{\frac {\alpha 'b-\beta 'a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n}.\\\end{aligned}}$

Parmi une multitude de remarques auxquelles ces formules peuvent donner lieu, nous nous arrêterons aux suivantes. ${\frac {c}{a}}$ et ${\frac {c}{b}}$ étant, dans les cas, deux fractions positives, il en résulte que ${\frac {c}{a}}+{\frac {c}{b}}$ est toujours compris entre 0 et 2, et que conséquemment $1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}$ est toujours fractionnaire et compris entre $+1$ et $-1.$

$X_{z}=M+N\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{z}.$

Les constantes $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ se détermineront tant par l’équation du premier ordre que par l’état initial du mélange.

J. D. G.