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FORMULES

prenant successivement les signes supérieurs et les signes inférieurs, en ayant égard à la valeur de $s,$ et réduisant, il viendra

$\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(A+B)=\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}C,$

$\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(A+B)=\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}C,$

$\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(A-B)={\frac {a-b}{c}}\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}C,$

$\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(A-B)={\frac {a+b}{c}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}C.$

Ces formules sont, pour les triangles rectilignes, ce que sont, pour les triangles sphériques, les formules de MM. Gauss et Delambre, démontrés par M. Servois, à la page 84 du second volume de ce recueil.

En divisant successivement la première par la seconde, la troisième par la quatrième, la première par la troisième, et la seconde par la quatrième, il vient

$\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}(A+B)=\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}C,$

$\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}(A-B)={\frac {a-b}{a+b}}\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}C,$

$a-b={\frac {\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(A+B)}}c,$

$a+b={\frac {\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(A+B)}}c.$

Ces dernières formules sont exactement, pour les triangles rectilignes ce que sont les Analogies de Néper pour les triangles sphériques.

Dans le triangle sphérique, on a, sans aucune ambiguïté de signes

$\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}A={\sqrt {\frac {\operatorname {Sin} .(s-b)\operatorname {Sin} .(s-c)}{\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .c}}},\ \operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}A={\sqrt {\frac {\operatorname {Sin} .s\operatorname {Sin} .(s-a)}{\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .c}}},$

$\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}B={\sqrt {\frac {\operatorname {Sin} .(s-c)\operatorname {Sin} .(s-a)}{\operatorname {Sin} .c\operatorname {Sin} .a}}},\ \operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}B={\sqrt {\frac {\operatorname {Sin} .s\operatorname {Sin} .(s-b)}{\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .a}}},$

$\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}C={\sqrt {\frac {\operatorname {Sin} .(s-a)\operatorname {Sin} .(s-b)}{\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .b}}},\ \operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}C={\sqrt {\frac {\operatorname {Sin} .s\operatorname {Sin} .(s-c)}{\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .b}}},$

On déduit de là