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ET ELLIPSOÏDE.

on aura donc, d’après cela,

$x'={\frac {a^{2}}{a'}},\qquad y'={\frac {b^{2}}{b'}},\qquad z'={\frac {c^{2}}{c'}}\,;$

substituant donc dans l’équation (E), il viendra

$b'^{2}c'^{2}a^{2}+c'^{2}a'^{2}b^{2}+a'^{2}b'^{2}c^{2}=a'^{2}b'^{2}c'^{2}\,;\qquad \mathrm {(G)}$

et l’équation du plan tangent sera simplement

$b'c'x+c'a'y+a'b'z=a'b'c'.\qquad \mathrm {(H)}$

Concevons présentement que $a',b',c'$ soient seuls donnés, et que $a,b,c$ soient trois lignes variables, liées uniquement entre elles par l’équation (G) ; alors cette équation sera celle d’un ellipsoïde rapporté à trois diamètres conjugués $2a',2b',2c'.$

L’équation (H) sera celle de l’une des faces de l’octaèdre inscrit à cet ellipsoïde, de manière que ses diagonales soient les trois diamètres conjugués $2a',2b',2c'.$

Et quant à l’équation (E), elle appartiendra à tous les ellipsoïdes qui, ayant même centre que le précédent, et leurs diamètres conjugués dans la même direction que les siens, auront successivement ces diamètres doubles des coordonnées de tous ses points.

Et il est aisé de voir que ces derniers ellipsoïdes, inscrits à une suite de parallélipipèdes, inscrits eux-mêmes au premier ellipsoïde, se trouveront aussi inscrits à l’octaèdre dont il vient d’être question ci-dessus.

De là résulte le théorème suivant :

THÉORÈME. Si, à un ellipsoïde donné, on inscrit arbitrairement un parallélipipède dont les arêtes soient parallèles à trois diamètres conjugués ; l’ellipsoïde inscrit à ce parallélipipède, de manière à ce qu’il touche les centres de ses faces, se trouvera aussi inscrit à l’octaèdre dont les diagonales seraient ceux des diamètres conjugués du premier ellipsoïde auxquels les arêtes du parallélipipède sont supposées parallèles.