point (p) se trouveraient assujetti à être à la fois sur le plan (Q) et sur un autre plan dont on obtiendrait l’équation en changeant, dans celle de (Q), en ; ce point (p) se trouverait donc dans l’intersection de deux plans (Q) et (Q’), c’est-à-dire, qu’il se trouverait sur une ligne droite (N).
De même que, le point (P) étant pris arbitrairement, on peut toujours assigner un plan (Q) qui ait avec lui la relation énoncée dans le théorème auquel nous venons de parvenir, il n’est réciproquement aucun plan (Q), dans l’espace, auquel il ne réponde un certain point (P) lié avec lui par une semblable relation ; on voit même que, pour obtenir ce point, il ne s’agit que de considérer comme inconnues, dans l’équation du plan (Q), les coordonnées et du point (P), et de les déterminer en exprimant que cette équation est identique avec celle du plan donné.
De là résulte le théorème suivant, inverse du premier :
THÉORÈME. Si l’on circonscrit à une surface du second ordre une suite de surfaces coniques, dont les centres ou sommets soient tous sur un même plan, situé d’une manière quelconque dans l’espace, les plans des lignes de contact de ces surfaces coniques avec la surface proposée passeront tous par un même point.[1]
À cause de la relation qui existe entre le point (P) et le plan (Q), ce point a été appelé le Pôle de ce plan ; et l’on peut, à l’inverse, appeler le plan (Q), le Plan polaire du point (P).
Il est aisé de voir que, si les sommets des surfaces coniques circonscrites étaient assujettis à être situés sur une même droite, ils se trouveraient, par là même, assujettis à être, à la fois, sur deux plans menés arbitrairement par cette droite ; qu’ainsi les plans des lignes de contact se trouveraient assujettis à passer tous par deux points fixes, c’est-à-dire, par un droite joignant ces deux points.
- ↑ On peut faire ici des remarques analogues à celles qui ont été faites dans la note de la page 297.
