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RATIONNELLES.

${\frac {3x^{2}-4x+2}{x^{3}-3x^{2}+3x-1}}={\frac {3x^{2}-4x+2}{(x-1)^{3}}}.$

Le numérateur et ses dérivées successives, divisées respectivement par 1 et 2, sont

$3x^{2}-4x+2,\qquad 6x+4,\qquad 3\,;$

en y faisant $x=1,$ il vient

$1,\qquad 2,\qquad 3\,;$

et on a conséquemment

${\frac {3x^{2}-4x+2}{(x-1)^{3}}}={\frac {1}{(x-1)^{3}}}+{\frac {2}{(x-1)^{2}}}+{\frac {3}{(x-1)}}.$

III. Soit enfin ${\frac {\psi x}{\phi x}}$ une fraction rationnelle irréductible, dont le dénominateur, d’un degré plus élevé que son numérateur, n’ait ni tous ses facteurs égaux ni tous ses facteurs inégaux. Soit $\phi x=(x-a)^{m}\mathrm {f} x\,;$ la fonction $\mathrm {f} x$ pouvant renfermer ou ne point renfermer de facteurs égaux, mais n’en renfermant aucun qui soit égal à $x-a.$ Soit posé

${\frac {\psi x}{\phi x}}={\frac {\mathrm {F} x}{(x-a)^{m}}}+{\frac {\Phi x}{\mathrm {f} x}}.$

Si l’on pouvait déterminer les fonctions $\mathrm {F} x$ et $\Phi x$, le problème qui nous occupe pourrait être considéré comme résolu, puisque la décomposition de la première fraction du second membre se rapporterait au second cas que nous avons traité, et que la décomposition de l’autre se rapporterait soit au premier soit au cas présent, suivant que les facteurs de $\mathrm {f} x$ seraient ou ne seraient pas tous inégaux.

Au lieu de déterminer immédiatement $\mathrm {F} x,$ il serait préférable de chercher d’abord $\mathrm {F} a,\mathrm {F} 'a,\mathrm {F} ''a,\ldots \,;$ car, outre qu’il serait facile