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DES ÉCHELLES.

ce qui donne $\mathrm {E} ^{k,}=a^{\frac {k}{\xi }}\partial ^{,{\frac {k}{\xi }}},$ et $1=a^{\frac {k}{\xi }}\partial ^{,{\frac {k}{\xi }}}\mathrm {E} ^{-k}\,;$ d’où on tire, par notre procédé ordinaire

$(97)\qquad \phi (x,y)=a^{\frac {x}{\xi }}\partial ^{,{\frac {x}{\xi }}}{\mathcal {f}}y.$

Si de l’échelle (96) on avait tiré la valeur de $\mathrm {E} ^{,1}$, on aurait trouvé $\mathrm {E} ^{,1}=e^{\frac {\mathrm {E} ^{\xi }}{a}}$ et par suite $\mathrm {E} ^{,k}=e^{\frac {k\mathrm {E} ^{\xi }}{a}},\ 1=e^{\frac {k\mathrm {E} ^{\xi }}{a}}\mathrm {E} ^{,-k}\,;$ ce qui donne, en multipliant par la fonction détachée

$\phi (x,y)=e^{\frac {k\mathrm {E} ^{\xi }}{a}}.\mathrm {E} ^{,-k}\phi (x,y)=e^{\frac {k\mathrm {E} ^{\xi }}{a}}\phi (x,y-k)$

$=\left\{1+{\frac {k}{a}}\mathrm {E} ^{\xi ,}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {k}{a}}\right)^{2}\mathrm {E} ^{2\xi ,}+{\frac {1}{6}}\left({\frac {k}{a}}\right)^{3}\mathrm {E} ^{3\xi ,}+\ldots \right\}\phi (x,y-k)$

$=\phi (x,y-k)+{\frac {k}{a}}\phi (x+\xi ,y-k)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {k}{a}}\right)^{2}\phi (x+2\xi ,y-k)+\ldots$

donc, si $y=k$

$\phi (x,k)={\mathcal {f}}x+{\frac {k}{a}}{\mathcal {f}}(x+\xi )+{\frac {1}{2}}\left({\frac {k}{a}}\right)^{2}{\mathcal {f}}(x+2\xi )+\ldots$

et enfin

$(98)\qquad \phi (x,y)={\mathcal {f}}x+{\frac {y}{a}}{\mathcal {f}}(x+\xi )+{\frac {1}{2}}\left({\frac {y}{a}}\right)^{2}{\mathcal {f}}(x+2\xi )+\ldots$

Ces exemples suffisent pour indiquer l’esprit de la méthode, dans l’intégration des équations linéaires du premier ordre à plusieurs variables. Passons à celle des équations linéaires à plusieurs variables dont l’ordre est plus élevé.

27. Lorsque l’équation aux échelles d’une équation linéaire d’un ordre supérieur est décomposable en facteurs du premier degré, chacun de ces facteurs, multiplié par la fonction détachée et égalé à zéro, fournit une équation linéaire du premier ordre, qu’on intègre par le procédé que nous venons d’exposer ; et la somme de ces intégrales particulières est l’intégrale complette de la proposée. Mais, lorsque l’échelle n’est pas décomposable en facteurs du premier degré, il faut avoir recours à la méthode d’approximation que nous allons exposer par un exemple.

28. Soit l’équation aux différences partielles