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SÉPARATION

théorèmes généraux, plus ou moins remarquables. Les équations (85) donnent deux expressions en séries de l’intégrale d’un ordre quelconque d’une fonction à deux variables. En y faisant $m=1,$ on a les deux séries de Jean Bernouilli. Les équations (81) donnent des séries analogues, pour les différences finies. On pourrait tirer de toutes ces équations une foule d’autres conséquences, en faisant sur chaque membre des opérations équivalentes (sans y introduire des variables), et multipliant les résultats par $\phi (x,y)$ ; on obtiendrait ainsi autant de théorèmes généraux qu’on voudrait. Nous nous contenterons, comme pour les fonctions d’une seule variable, d’en tirer une formule générale d’interpolation, pour les séries doubles.

Par le même procédé qui nous a donné l’équation (18), on obtient

$(86)\ \Delta _{\theta ,\omega }^{m,n}=\Delta _{\theta ,}^{m,}.\Delta _{,\omega }^{,n}=\left\{\left(1+\Delta _{\xi ,}^{1,}\right)^{\frac {\theta }{\xi }}-1\right\}^{m}.\left\{\left(1+\Delta _{,\nu }^{,1}\right)^{\frac {\omega }{\nu }}-1\right\}^{n}\,;$

et, en multipliant par $\phi (x,y)$

$(87)\ \Delta _{\theta ,\omega }^{m,n}\phi (x,y)=\left\{\left(1+\Delta _{\xi ,}^{1,}\right)^{\frac {\theta }{\xi }}-1\right\}^{m}.\left\{\left(1+\Delta _{,\nu }^{,1}\right)^{\frac {\omega }{\nu }}\phi -1\right\}^{n}.(x,y).$

Au moyen de cette formule, on passe d’un système de différences, relatives à des accroissemens $\xi$ et $\nu ,$ à un autre système de différences, relatives à des accroissemens $\theta$ et $\omega$ ; ce qui donne la solution la plus générale de l’interpolation des séries doubles.

23. Nous avons vu, au n.^o 5, qu’une formule quelconque, entre des quantités arbitraires, pouvait être considérée comme une équation à échelles, et nous avons fait voir, par deux exemples, qu’en multipliant ses deux membres par une fonction de $x$, on obtenait, avec beaucoup de facilité, des théorèmes, soit connus soit nouveaux. Nous pourrions faire des applications semblables, pour les fonctions à plusieurs variables ; mais, pour ne pas trop grossir ce mémoire, nous laisserons cet exercice au lecteur, et nous passerons de suite à l’intégration des équations linéaires à plusieurs variables.

Les principes et la marche de la méthode étant les mêmes dans ce cas que dans celui des équations linéaires à une seule