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§. II.

De la séparation des échelles, dans les fonctions à plusieurs variables.

19. Jusqu’à présent, nous n’avons appliqué la méthode de séparation des échelles qu’à des fonctions d’une seule variable ; mais il est évident qu’en faisant sur $\mathrm {F} (x,y,z)=0$ les mêmes raisonnemens que nous avons faits sur $\mathrm {F} (x,y)=0,$ on arriverait aux mêmes conclusions, et qu’ainsi la légitimité de cette méthode, pour les fonctions à plusieurs variables, se trouve aussi bien démontrée que pour les fonctions d’une seule variable. Nous nous contenterons donc d’établir les notations et les principales relations de définition entre les échelles ou signes de diverses espèces de différentiations des fonctions à plusieurs variables, et nous donnerons quelques exemples d’application de la méthode. Pour plus de simplicité, nous ne considérerons que des fonctions de deux variables indépendantes ; il sera aisé ensuite d’étendre la méthode à des fonctions d’un plus grand nombre de variables.

20. Soit une fonction de deux variables $\phi (x,y)$ ; nous indiquerons sa différentielle totale par $\partial \,$ ; sa différentielle partielle, en ne faisant varier que $x$, par $\partial ^{1,}$ ; sa différentielle, relative à la variabilité de $y,$ par $\partial ^{,1}$ de sorte qu’on aura

$(64)\qquad \partial \phi (x,y)=\partial ^{1,}\phi (x,y)+\partial ^{,1}\phi (x,y),$

et, en détachant les échelles,

$(65)\qquad \partial =\partial ^{1,}+\partial ^{,1}.$

Nous représenterons de même par $\mathrm {E}$ et par $\Delta$ l’état varié et la différence totale, lorsque les accroissemens de $x$ et de $y$ seront chacun égal à 1 ; ainsi nous aurons

$(66)\quad \phi (x+1,y+1)=\mathrm {E} \phi (x,y)=\phi (x,y)+\Delta \phi (x,y)=e^{\partial }.\phi (x,y).$

et par conséquent, en détachant les échelles,

$(67)\qquad \mathrm {E} =1+\Delta =e^{\partial }.$

Nous indiquerons par $\mathrm {E} ^{1,}$ et par $\Delta ^{1,}$ l’état varié partiel et la différence partielle, par rapport à $x$, lorsque cette variable devient $x+1$ ; et de même par $\mathrm {E} ^{,1}$ et par $\Delta ^{,1}$ l’état varié partiel et la différence partielle, par rapport à $y,$ lorsque $y$ devient $y+1.$ Ainsi nous aurons

§. II.

De la séparation des échelles, dans les fonctions à plusieurs variables.

19. Jusqu’à présent, nous n’avons appliqué la méthode de séparation des échelles qu’à des fonctions d’une seule variable ; mais il est évident qu’en faisant sur $\mathrm {F} (x,y,z)=0$ les mêmes raisonnemens que nous avons faits sur $\mathrm {F} (x,y)=0,$ on arriverait aux mêmes conclusions, et qu’ainsi la légitimité de cette méthode, pour les fonctions à plusieurs variables, se trouve aussi bien démontrée que pour les fonctions d’une seule variable. Nous nous contenterons donc d’établir les notations et les principales relations de définition entre les échelles ou signes de diverses espèces de différentiations des fonctions à plusieurs variables, et nous donnerons quelques exemples d’application de la méthode. Pour plus de simplicité, nous ne considérerons que des fonctions de deux variables indépendantes ; il sera aisé ensuite d’étendre la méthode à des fonctions d’un plus grand nombre de variables.

20. Soit une fonction de deux variables $\phi (x,y)$ ; nous indiquerons sa différentielle totale par $\partial \,$ ; sa différentielle partielle, en ne faisant varier que $x$, par $\partial ^{1,}$ ; sa différentielle, relative à la variabilité de $y,$ par $\partial ^{,1}$ de sorte qu’on aura

$(64)\qquad \partial \phi (x,y)=\partial ^{1,}\phi (x,y)+\partial ^{,1}\phi (x,y),$

et, en détachant les échelles,

$(65)\qquad \partial =\partial ^{1,}+\partial ^{,1}.$

Nous représenterons de même par $\mathrm {E}$ et par $\Delta$ l’état varié et la différence totale, lorsque les accroissemens de $x$ et de $y$ seront chacun égal à 1 ; ainsi nous aurons

$(66)\quad \phi (x+1,y+1)=\mathrm {E} \phi (x,y)=\phi (x,y)+\Delta \phi (x,y)=e^{\partial }.\phi (x,y).$

et par conséquent, en détachant les échelles,

$(67)\qquad \mathrm {E} =1+\Delta =e^{\partial }.$

Nous indiquerons par $\mathrm {E} ^{1,}$ et par $\Delta ^{1,}$ l’état varié partiel et la différence partielle, par rapport à $x$, lorsque cette variable devient $x+1$ ; et de même par $\mathrm {E} ^{,1}$ et par $\Delta ^{,1}$ l’état varié partiel et la différence partielle, par rapport à $y,$ lorsque $y$ devient $y+1.$ Ainsi nous aurons