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MAXIMA

$\xi _{3},\ldots \xi _{n}$ à la place de $\mathrm {d} x_{1},\mathrm {d} x_{2},\mathrm {d} x_{3},\ldots \mathrm {d} x_{n}\,;$ il est donc encore une suite nécessaire de notre supposition, et fait voir que le minimum ou maximum a lieu pour toutes les valeurs des variables satisfaisant aux relations (11).

On trouverait, de la même manière, que les conditions du minimum ou maximum, pour le système (8) deviennent

$\lambda =0,\quad \mu =0,\quad \varpi =0\,;\ C_{1,1}\gtrless 0,\quad \alpha _{2,2}>0\quad \beta _{3,3}>0.\qquad (13)$

Il n’est pas difficile maintenant d’étendre ces conclusions à un nombre quelconque de facteurs qui affecteraient les valeurs de $B_{1},B_{2},B_{3},\ldots B_{n}.$

7. Dans ce qui précède, nous avons supposé que les facteurs $\lambda ,\mu ,\varpi ,\ldots$ affectaient tous les termes de $U$ ; ce qui a fait disparaître plusieurs quarrés en entier, dans la valeur de $V.$ Mais, si l’on suppose que ces facteurs n’affectent que quelques termes de $U,$ il ne disparaîtra plus de quarrés entiers dans la valeur de $V,$ mais seulement quelques-uns de leurs termes. Ainsi, si l’on a

$\lambda =0,\ \mu =0\,;\ B_{1}=l_{1}\lambda ,\ B_{2}=l_{2}\lambda ,\ B_{3}=m_{3}\mu ,\ B_{4}=m_{4}\mu ,$

$B_{5}=m_{5}\mu ,\ B_{6}=0,\ B_{7}=0,\ldots B_{n}=0\,;\qquad (14)$

on trouvera $\alpha _{2,2}=0,\ \alpha _{4,4}=0,\ \alpha _{4,5}=0,\ \beta _{5,5}=0.$

Il se présente ici une difficulté très-sérieuse, qu’il est nécessaire de lever pour assurer notre théorie. En substituant les valeurs précédentes dans celles de $V,$ tous les termes après le premier deviennent infinis par le facteur commun ${\frac {1}{\alpha _{2,2}}}$ ; on ne peut donc plus rien conclure de cette valeur, pour l’existence du maximum ou minimum. Dans ce cas, il faut avoir recours à l’observation que nous avons faite au n.^o 4, et ordonner les accroissemens $\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\ldots \xi _{n}$ entre eux, de manière que les premiers termes des quarrés qui composeront le nouveau développement de $V$ ne s’évanouissent pas ; (ce que l’on démontre aisément être toujours possible) ; alors il n’y a plus, dans les quarrés successifs qui forment le développement de $V,$ que quelques termes qui s’évanouissent. Les conditions (5) que l’on tire de ce nouveau développement de $V$ subsisteront donc