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MAXIMA

${\begin{aligned}&\phi \left(a_{1}+\xi _{1},a_{2}+\xi _{2},a_{3}+\xi _{3},\ldots a_{n}+\xi _{n}\right)\\&=A+\left(B_{1}\xi _{1}+B_{2}\xi _{2}+B_{3}\xi _{3}+\ldots +B_{n}\xi _{n}\right)\\&+{\tfrac {1}{2}}\left(C_{1,1}\xi _{1}^{2}+C_{2,2}\xi _{2}^{2}+C_{3,3}\xi _{3}^{2}+\ldots +C_{n,n}\xi _{n}^{2}\right)\\&+2\left(C_{1,2}\xi _{1}\xi _{2}+C_{1,3}\xi _{1}\xi _{3}+\ldots +C_{1,n}\xi _{1}\xi _{n}\right)\\&+2\left(C_{2,3}\xi _{2}\xi _{3}+C_{2,4}\xi _{2}\xi _{4}+\ldots +C_{2,n}\xi _{2}\xi _{n}\right)\\&+2\left(C_{3,4}\xi _{3}\xi _{4}+C_{3,5}\xi _{3}\xi _{5}+\ldots +C_{3,n}\xi _{3}\xi _{n}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+2\left(C_{n-2,n-1}\xi _{n-2}\xi _{n-1}+C_{n-2,n}\xi _{n-2}\xi _{n}+2C_{n-1,n}\xi _{n-1}\xi _{n}\right)\\&+{\frac {1}{2.3}}\left(\ldots \ldots \right)+\ldots \ldots \qquad (1)\end{aligned}}$

Pour que le maximum ou minimum ait lieu, il faut que le second terme du second membre de cette équation soit nul, indépendamment des valeurs des accroissemens $\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\ldots \xi _{n},$ qui n’y entrent qu’à la première puissance. De plus, il faut, pour le minimum, que le troisième terme, qui contient les combinaisons deux à deux de ces accroissemens, soit toujours positif ; il doit toujours être négatif pour le maximum.

2. En représentant ce troisième terme par ${\tfrac {1}{2}}V$ on peut mettre $V$ sous la forme

$V={\frac {\left(C_{1,1}\xi _{1}+C_{1,2}\xi _{2}+C_{1,3}\xi _{3}+\ldots +C_{1,n}\xi _{n}\right)^{2}+V_{1}}{C_{1,1}}},$

$V_{1}={\frac {\left[\left(C_{1,1}C_{2,2}-C_{1,2}^{2}\right)\xi _{2}+\left(C_{1,1}C_{2,3}-C_{1,2}C_{1,3}\right)\xi _{3}+\ldots \left(C_{1,1}C_{2,n}-C_{1,2}C_{1,n}\right)\xi _{n}\right]^{2}+V_{2}}{C_{1,1}C_{2,2}-C_{1,2}^{2}}},$

$V_{2}=\left(\left\{\left[\left(C_{1,1}C_{2,2}-C_{1,2}^{2}\right)\left(C_{1,1}C_{3,3}-C_{1,3}^{2}\right)-\left(C_{1,1}C_{2,3}-C_{1,2}C_{1,3}\right)^{2}\right]\xi _{3}+\ldots \right.\right.$

$+\left.\left[\left(C_{1,1}C_{2,2}-C_{1,2}^{2}\right)\left(C_{1,1}C_{3,n}-C_{1,3}C_{1,n}\right)-\left(C_{1,1}C_{2,3}-C_{1,2}C_{1,3}\right)\left(C_{1,1}C_{2,n}-C_{1,2}C_{1,n}\right)\right]\xi _{n}\right\}^{2}$

$\left.+V_{3}\right):\left[\left(C_{1,1}C_{2,2}-C_{1,2}^{2}\right)\left(C_{1,1}C_{3,3}-C_{1,3}^{2}\right)-\left(C_{1,3}C_{2,3}-C_{1,2}C_{1,3}\right)^{2}\right],$^[1]

1. Pour la facilité typographique, on emploie ici le signe (:) pour l’équivalant de divisé par, comme dans les rapports géométriques ou par quotiens.