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THÉORIE

généralement du degré $n-2,$ il s’ensuit qu’à chacune de ces valeurs de $y,$ les équations $X'=0$ et $X''=0$ font connaître les mêmes racines pour $x$, c’est-à-dire, qu’on a, suivant notre notation, $[Y''^{2},X''']=[Y''^{2},X''].$

Soit donc $X''''=\Xi ''''Y''^{2},$ on aura

$[X''',X'''']=[X''',\Xi ''''.Y''^{2}]=[X''',\Xi '''']+[X''',Y''^{2}],$

ou, par ce qui précède,

$[X''',X'''']=[X''',\Xi '''']+[X'',Y''^{2}]\,;$

puis donc on a

$[X,X']=[X''',X'''']-[Y''^{2},X'']-[Y'''^{2},X'''],$

on aura, en substituant,

$[X,X']=[X''',\Xi '''']-[Y'''^{2},X''']\,;$

d’où l’on volt que la division de $X''''$ par $Y''^{2}$ a fait évanouir les solutions étrangères $[Y''^{2},X'']$ qu’avait introduit la multiplication par $Y''2$ ; la division du reste suivant par $Y'''^{2}$ ferait de même évanouir les solutions étrangères $[Y'''^{2},X''']$ que la multiplication par ce même facteur a introduite ; et l’on voit qu’en général en

ou

$M'M''x^{2}+(M'N''+N'M'')x+(N'N''+A'''^{2})$

est divisible par $A''2$.

Or, d’après les relations qui existent entre $X',X'',X''',q',q'',$ et qui doivent avoir lieu indépendamment de toute détermination de $x,$ on trouva facilement

${\begin{aligned}&M'=A'A'',\qquad &&M''=A''A''',\\&M'B''+N'A''=B'A''^{2},\qquad &&M''B'''+N''A'''=B''A'''^{2},\\&M'C''+N'B''+A'''=C'A''^{2},\qquad &&M'D''+N'C''+B'''=D'A''^{2}\,;\\\end{aligned}}$

si, après avoir éliminé $B'''$ entre ces équations, on en tire les valeurs de $M',N',M'',N'',$ et $A'''^{2},$ comme d’autant d’inconnues, pour les substituer dans la fonction ci-dessus, on se convaincra qu’elle devient, en effet, après les réductions, exactement divisible par $A''^{2}.$

J. D. G.