puis donc qu’on doit avoir
il viendra
ou, en réduisant
c’est-à-dire, que, dans une sur face polyèdre, non fermée, le nombre des faces, augmenté du nombre des sommets, surpasse d’une unité le nombre des arêtes, pourvu cependant que cette surface soit de nature à ce que les perpendiculaires à un plan convenablement situé par rapport à elle, ne la rencontrent qu’en un seul point.
Soit enfin un polyèdre quelconque auquel on circonscrive un prisme dont les arêtes aient une direction telle qu’aucune d’elles ne se confonde avec ses faces. Ce prisme touchera le polyèdre selon une suite d’arêtes consécutives qui diviseront sa surface en deux surfaces polyèdres non fermées. Soient respectivement et les nombres de faces de ces deux portions, et leurs nombres de sommets, et enfin et leurs nombres d’arêtes ; on aura, par ce qui précède,
Soient ensuite le nombre total des faces du polyèdre, le nombre de ses sommets, et le nombre de ses arêtes. En désignant par le nombre des côtés du polygone, plan ou gauche, qui termine ses deux parties, on aura évidemment
d’où
Ceci suppose toujours, au surplus, qu’il y a un certain plan tel que les droites qui lui sont perpendiculaires ne rencontrent la surface
