angles est égal au nombre des côtés. Mais, tandis que cette dernière proposition n’exige aucun développement, et ne souffre aucune exception, la proposition correspondante sur les polyèdres n’est rien moins qu’évidente, et n’est pas plus générale. Dans un premier travail, l’auteur, n’ayant pu en trouver la démonstration, se contenta de l’exposer sur plusieurs solides d’espèces différentes ; et il présenta comme probable, et comme fondée sur l’analogie seulement, la conclusion tirée de ces cas particuliers à la proposition générale. Dans un second travail, sur le même sujet, l’auteur donne enfin la démonstration de sa proposition. Il la tire de la possibilité de diminuer d’une unité le nombre des angles solides d’un polyèdre (non tétraèdral) ; d’où découle la possibilité de le ramener à une pyramide, et en particulier à une pyramide tétraèdrale. L’auteur développe cette possibilité, et il en tire les conséquences relatives à la diminution correspondante du nombre des faces et du nombre des arêtes.
» Dans les mêmes mémoires, Euler développe deux autres théorème, sur les polyèdres, relatifs à la valeur de la somme des angles plans qui entrent dans la composition d’un polyèdre. Il démontre que cette valeur est quatre angles droits, multipliés par l’excès du nombre des arêtes sur le nombre des faces, ou quatre angles droits multipliés par un nombre inférieur de deux unités à celui des angles solides. Cette dernière expression lui paraît, avec raison, bien remarquable. Elle répond à la valeur de la somme des angles plans d’une figure rectiligne, dans le nombre de ses côtés ou de ses angles. L’auteur, après l’avoir tirée des deux premiers théorèmes, en a donné une démonstration immédiate, fondée sur le principe déjà exposé ; savoir : sur la possibilité de diminuer d’une unité le nombre des angles solides d’un polyèdre (non tétraèdral).
» Legendre, dans ses Élémens de géométrie, a démontré les mêmes théorèmes d’une manière remarquable par sa brièveté. Sa démonstration est fondée sur l’expression de la surface d’un polygone sphérique dans ses angles. Comme cette dernière expression
