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RÉSOLUES.

sorte que $\mathrm {A,B,D,E}$ soient respectivement les points de contact du cercle avec ses côtés $\mathrm {FG,GH,HK,KF} .$ Soient tirées les cordes $\mathrm {AD,BE} ,$ joignant les points de contact opposés (ou alternatifs) $\mathrm {A}$ et $\mathrm {D,B}$ et $\mathrm {E} ,$ lesquelles se coupent en $\mathrm {O}$ ; enfin, de ce point $\mathrm {O}$ soient menées à deux sommets alternatifs quelconques $\mathrm {F,H}$ du quadrilatère circonscrit, les droites $\mathrm {OF,OH}$ ; je dis que ces deux droites n’en feront qu’une.

En effet,

${\text{dans les triangles}}\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {OBH} \\&\mathrm {ODH} \\\end{aligned}}\right\}{\text{on a}}\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {OH:BH} ::\operatorname {Sin} .\mathrm {OBH} :\operatorname {Sin} .\mathrm {BOH} ,\\&\mathrm {OH:DH} ::\operatorname {Sin} .\mathrm {ODH} :\operatorname {Sin} .\mathrm {DOH} \,;\\\end{aligned}}\right.$

mais $\mathrm {BH=DH}$ ; donc

$\operatorname {Sin} .\mathrm {OBH} :\operatorname {Sin} .\mathrm {ODH} ::\operatorname {Sin} .\mathrm {BOH} :\operatorname {Sin} .\mathrm {DOH} .$

Pareillement,

${\text{dans les triangles}}\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {OEF} \\&\mathrm {OAF} \\\end{aligned}}\right\}{\text{on a}}\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {OF:EF} ::\operatorname {Sin} .\mathrm {OEF} :\operatorname {Sin} .\mathrm {EOF} ,\\&\mathrm {OF:AF} ::\operatorname {Sin} .\mathrm {OAF} :\operatorname {Sin} .\mathrm {AOF} \,;\\\end{aligned}}\right.$

mais $\mathrm {EF=AF}$ ; donc

$\operatorname {Sin} .\mathrm {OEF} :\operatorname {Sin} .\mathrm {OAF} ::\operatorname {Sin} .\mathrm {EOF} :\operatorname {Sin} .\mathrm {AOF} .$

De plus,

$\left.{\begin{aligned}&\mathrm {OBH=180^{\circ }-OEF,} \\&\mathrm {ODH=180^{\circ }-OAF\,;} \\\end{aligned}}\right\}{\text{donc}}\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .\mathrm {OBH} =\operatorname {Sin} .\mathrm {OEF} ,\\&\operatorname {Sin} .\mathrm {ODH} =\operatorname {Sin} .\mathrm {OAF} ,\\\end{aligned}}\right.$

donc

$\operatorname {Sin} .\mathrm {BOH} :\operatorname {Sin} .\mathrm {DOH} ::\operatorname {Sin} .\mathrm {EOF} :\operatorname {Sin} .\mathrm {AOF} \,;$

mais $\mathrm {BOD=EOA}$ ; donc (Lemme) $\mathrm {BOH=EOF,\ DOH=AOF} \,;$ donc $\mathrm {OF,OH}$ sont en ligne droite ; c’est-à-dire, que les diagonales du quadrilatère circonscrit passent par l’intersection des droites qui joignent les points de contact opposés. C. Q. F. D.^[1]

1. La proposition étant ainsi démontrée pour le cercle, se trouve l’être aussi pour toute section conique, qui peut toujours être considérée comme la perspective d’un certain cercle.
   J. D. G.