quelles, sans radicaux ni dénominateurs ; trouver pour ces inconnues les valeurs entières et rationnelles les plus générales qui puissent satisfaire aux équations proposées ?
Pour que les valeurs qu’on attribuera à ces inconnues puissent être réputées exactes, il suffit évidemment que ces valeurs, substituées dans les équations proposées, rendent ces équations identiques ; pour que ces mêmes valeurs soient réputées complettes, il est nécessaire qu’elles soient fonctions d’autant de nouvelles indéterminées, au moins, qu’il y a d’inconnues au-delà du nombre des équations à résoudre, et que ces indéterminées ne puissent être réduites à un moindre nombre d’autres indéterminées, fonctions de celles-là.
Les équations proposées doivent, en effet, être considérées comme le résultat de l’élimination, entre les valeurs des inconnues, des indéterminées dont ces valeurs sont fonctions. Or, si ces valeurs étaient fonctions de moins d’indéterminées qu’il n’y a d’inconnues au-delà du nombre des équations ; en éliminant ces indéterminées entre elles, on obtiendrait, outre les équations proposées, d’autres équations auxquelles les valeurs des inconnues satisferaient également ; on se trouverait donc avoir assujetti ces inconnues à des conditions étrangères à celles de la question proposée ; les valeurs trouvées n’auraient donc pas toute la latitude d’indétermination comportée par cette question.
J’ai dit que les valeurs des inconnues devaient être fonctions d’autant d’indéterminées distinctes, au moins, qu’il y avait d’inconnues au-delà du nombre des équations à résoudre ; et c’est qu’en effet rien ne s’oppose à ce que ces indéterminées soient en plus grand nombre. L’essentiel étant uniquement que les indéterminées puissent être éliminées, entre les valeurs des inconnues, et que de leur élimination résultent seulement les équations proposées et point d’autres : on conçoit que ces indéterminées, quelque nombreuses qu’elles soient d’ailleurs, peuvent être tellement combinées, dans les valeurs des inconnues, que l’élimination d’un certain nombre d’entre elles fasse disparaître toutes les autres. Leur nombre peut donc fort bien excéder celui que semblerait comporter, en général, le nombre des
