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GÉNÉRATION

axe des $y.$ Soit $\mathrm {F}$ un point fixe pris sur $\mathrm {IX} ,$ et soit $\mathrm {F} f$ une droite mobile assujettie à passer constamment par ce point $\mathrm {F} .$ Soit $\mathrm {T} t$ une autre droite mobile, coupant la première en $\mathrm {M}$ et la droite $\mathrm {IX}$ en $\mathrm {T}$ ; soit menée l’ordonnée $\mathrm {MP}$ du point variable $\mathrm {M} .$ Supposons que le mouvement de $\mathrm {T} t$ soit lié à celui de $\mathrm {F} f$ autour du point fixe $\mathrm {F} ,$ de manière qu’on ait constamment

$\operatorname {Ang} .\mathrm {FMT} =\operatorname {Ang} .\mathrm {FTM} ,\qquad \mathrm {IP=IT}$ ;

et proposons-nous de déterminer le lieu géométrique de l’intersection $\mathrm {M}$ des deux droites $\mathrm {F} f$ et $\mathrm {T} t.$

Posons $\mathrm {IF} =c$ ; les équations des deux droites $\mathrm {T} t$ et $\mathrm {F} f$ seront de la forme

$y=Ax+B,\qquad$(1)

$y=A'(x-c)\,;\qquad$(2)

on trouvera d’après cela

$\mathrm {IP} ={\frac {B+A'c}{A'-A}},\qquad \mathrm {IT} =-{\frac {B}{A}},\qquad \operatorname {Tang} .\mathrm {FMT} ={\frac {A'-A}{1+AA'}}\,;$

or, suivant les conditions du problème, 1.^o $\mathrm {IP}$ et $\mathrm {IT}$ doivent être égaux et de signes contraires ; 2.^o la tangente de l’angle $\mathrm {FMT}$ doit être égale à celle de l’angle $\mathrm {FTM} ,$ c’est-à-dire, égale à $\mathrm {A}$ ; ainsi on aura, entre les trois constantes $A,A',B,$ les deux équations

${\frac {B+A'c}{A'-A}}={\frac {B}{A}},\qquad (3)\qquad {\frac {A'-A}{1+AA'}}=A\,;\qquad (4)$

si donc, entre les équations (1), (2), (3), (4), on élimine les trois quantités $A,A',B,$ l’équation résultante en $x,y$ et $c$ sera celle de la courbe cherchée.

L’élimination s’exécute assez facilement comme il suit. D’abord en prenant le produit des équations (4) et (5), et exécutant toutes les réductions qui se présentent, on a

$AB=c\,;\qquad (5)$