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MAXIMA

$F=0\,;\qquad$(4)

on tirera ensuite des équations (3), par la différentiation, en ayant égard à l’équation (4)

$r=P\left({\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x}}\right),\ s=P\left({\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} y}}\right),\ s=Q\left({\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x}}\right),\ t=Q\left({\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} y}}\right)\,;\quad$(5)

retranchant du produit des deux équations extrêmes le produit des deux autres, il viendra, en réduisant

$rt-s^{2}=0\,;\qquad$(6)

la condition (2) ne sera donc pas satisfaite. Examinons si néanmoins, dans ce cas, le maximum ou le minimum ne pourrait pas avoir lieu.

Soient $a,b$ des valeurs de $x,y$ qui rendent $z$ maximum ou minimum ; et soient respectivement $\alpha ,\beta$ des variations simultanées et très-petites de ces quantités, répondant à une valeur de $z$ voisine de ce maximum ou minimum. À cause des équations (1), on aura simplement

$z=\phi (a+\alpha ,b+\beta )=\phi (a,b)+{\tfrac {1}{2}}\left(r\alpha ^{2}+2s\alpha \beta +t\beta ^{2}\right)+\ldots \qquad$(7)

Il faut pour le maximum, que cette quantité soit toujours plus petite que $\phi (a,b)$ et pour le minimum, qu’elle soit toujours plus grande, quels que soient d’ailleurs les signes de $\alpha ,\beta ,$ pourvu que ces deux variations ne cessent pas d’être comprises dans des limites très-resserrées. On conclut facilement de là qu’il faut que la quantité

$r.\alpha ^{2}+2\alpha s\alpha +t\beta ^{2}\qquad$(8)

conserve toujours le même signe négatif s’il s’agit du maximum, et positif s’il s’agit du minimum ; et on démontre que la première condition est toujours satisfaite lorsqu’on a, à la fois

$r<0,\qquad rt-s^{2}>0\,;$

et que la seconde l’est, si l’on a, au contraire,

$r>0,\qquad rt-s^{2}>0\,;$

Tout cela est parfaitement exact, et ces conditions sont en effet suffisantes pour que le maximum ou le minimum ait lieu ; mais il