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NUMÉRIQUES.

$(a+h)!=(+h)!(1+h)^{a|1},$

$(a-h)!=(-h)!(1-h)^{a|1},$

ou

$(a+h)!=(+h)!(1+h)(2+h)(3+h)\ldots (a+h),$

$(a-h)!=(-h)!(1-h)(2-h)(3-h)\ldots (a-h),$

on aura donc (16)

$x!y!={\frac {h\varpi }{\operatorname {Sin} .h\varpi }}(1-h^{2})(4-h^{2})(9-h^{2})\ldots (a^{2}-h^{2}).$

Dans le cas d’une somme impaire, soient posés

$x=a+{\tfrac {1}{2}}+h,\qquad y=a+{\tfrac {1}{2}}-h,$

ce qui donnera

$x+y=2a+1,$

$a$ pouvant désigner un nombre entier quelconque. On aura alors

$x!=\left(a+{\tfrac {1}{2}}+h\right)!=\left({\tfrac {1}{2}}+h\right)!\left({\tfrac {3}{2}}+h\right)^{a|1},$

$y!=\left(a+{\tfrac {1}{2}}-h\right)!=\left({\tfrac {1}{2}}+h\right)!\left({\tfrac {3}{2}}-h\right)^{a|1},$

ou

$x!=\left({\tfrac {1}{2}}+h\right)\left({\tfrac {3}{2}}+h\right)\left({\tfrac {5}{2}}+h\right)\left({\tfrac {7}{2}}+h\right)\ldots \left({\frac {2a+1}{2}}+h\right),$

$y!=\left({\tfrac {1}{2}}-h\right)\left({\tfrac {3}{2}}-h\right)\left({\tfrac {5}{2}}-h\right)\left({\tfrac {7}{2}}-h\right)\ldots \left({\frac {2a+1}{2}}-h\right)\,;$

donc (22)

$x!y!={\frac {\varpi }{\operatorname {Cos} .h\varpi }}\left({\tfrac {1}{4}}-h^{2}\right)\left({\tfrac {9}{4}}-h^{2}\right)\left({\tfrac {25}{4}}-h^{2}\right)\left({\tfrac {49}{4}}-h^{2}\right)\ldots \left\{{\frac {(2a+1)^{2}}{4}}-h^{2}\right\}.$

Si, dans le cas de $x+y$ pair, $h$ se change en $ih,$ ce qui donnera toujours $x+y=2a,\ a$ étant un nombre entier quelconque, il viendra

$x!y!={\frac {2h\varpi }{e^{h\varpi }-e^{-h\varpi }}}(1+h^{2})(4+h^{2})(9+h^{2})\ldots (a^{2}+h^{2}).$

Si le même changement arrive, dans le cas de $x+y$ impair, en sorte