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FACULTÉS

THÉORÈME I. $(+y)!(-y)!={\frac {\varpi y}{\operatorname {Sin} .\varpi y}}.$

THÉORÈME II. $(+iy)!(-iy)!={\frac {2\varpi y}{e^{\varpi y}-e^{-\varpi y}}}.$

Les principes généraux étant posés, proposons-nous la solution générale des deux problèmes qui suivent :

17. PROBLÈME I. Évaluer numériquement le produit

$\left\{1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\right\}\left\{1-{\frac {x^{2}}{(a+r)^{2}}}\right\}\left\{1-{\frac {x^{2}}{(a+2r)^{2}}}\right\}\left\{1-{\frac {x^{2}}{(a+3r)^{2}}}\right\}\ldots$

continué à l’infini ?

Solution. Ce produit se décompose dans ceux-ci

${\frac {a-x}{a}}.{\frac {a-x+r}{a+r}}.{\frac {a-x+2r}{a+2r}}.{\frac {a-x+3r}{a+3x}}\ldots ,$

${\frac {a+x}{a}}.{\frac {a+x+r}{a+r}}.{\frac {a+x+2r}{a+2r}}.{\frac {a+x+3r}{a+3x}}\ldots \,;$

dans mon Analise des réfractions, je les ai réduit respectivement à

${\frac {(a-x)^{\left.{\frac {x}{r}}\right|r}}{(infin.r)^{\frac {x}{r}}}},\qquad {\frac {(a+x)^{\left.-{\frac {x}{r}}\right|r}}{(infin.r)^{-{\frac {x}{r}}}}},$

ce qui rend le produit cherché égal au simple produit des deux factorielles

$(a-x)^{\left.{\frac {x}{r}}\right|r},\qquad (a+x)^{\left.-{\frac {x}{r}}\right|r}\,;$

il ne reste donc plus qu’à réduire ces factorielles aux facultés, ce qui se fait à l’aide des formules ci-dessus (12). En posant, pour abréger, ${\frac {a}{r}}-1=f,$ on trouvera

$(a-x)^{\left.{\frac {x}{r}}\right|r}={\frac {f!}{\left(f-{\frac {x}{r}}\right)!}}r^{\frac {x}{r}},\qquad (a+x)^{\left.-{\frac {x}{r}}\right|r}={\frac {f!}{\left(f+{\frac {x}{r}}\right)!}}r^{-{\frac {x}{r}}}\,;$