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NUMÉRIQUES.

${\begin{aligned}B&=+2B_{2}.{\frac {\varpi ^{2}}{1.2}},\\D&=-2^{3}B_{4}.{\frac {\varpi ^{4}}{1.2.3.4}},\\F&=+2^{5}B_{6}.{\frac {\varpi ^{6}}{1.2.3.4.5.6}},\\H&=-2^{7}B_{8}.{\frac {\varpi ^{8}}{1.2.3.4.5.6.7.8}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

Quant aux autres coefficiens $A,C,E,\ldots$ l’analise ne nous offre pas les mêmes moyens de les obtenir ; il faudrait, pour y parvenir, interpoler la série des nombres de Bernoulli, d’après une loi probablement fort simple, mais que nous ne connaissons pas encore.

15. Ayant

$\operatorname {Log} .(+y)!=Ay+By^{2}+Cy^{3}+Dy^{4}+\ldots ,$

on doit avoir

$\operatorname {Log} .(-y)!=-Ay+By^{2}-Cy^{3}+Dy^{4}-\ldots ,$

de là résulte

$\operatorname {Log} .(+y)!\times (-y)!=2By^{2}+2Dy^{4}+2Fy^{6}+\ldots \,;$

en changeant $y$ en $iy,$ on aura de même

$\operatorname {Log} .(+iy)!\times (-iy)!=-2By^{2}+2Dy^{4}-2Fy^{6}+\ldots \,;$

16. On a vu (8) que

$B_{2}.{\frac {y^{2}}{1.2}}+B_{4}.{\frac {y^{4}}{1.2.3.4}}+B_{6}.{\frac {y^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots =\operatorname {Log} .{\frac {e^{{\tfrac {1}{2}}y}-e^{-{\tfrac {1}{2}}y}}{y}},$

En remplaçant $y$ par $iy,$ on aura, après les réductions connues,

$-B_{2}.{\frac {y^{2}}{1.2}}+B_{4}.{\frac {y^{4}}{1.2.3.4}}-B_{6}.{\frac {y^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots =\operatorname {Log} .\left({\frac {2}{y}}\operatorname {Sin} .{\frac {y}{2}}\right).$

Les réductions appliquées aux valeurs des logarithmes de $(+y)!(-y)!$ et de $(+iy)!(-iy)!$ qu’on vient de trouver, conduisent aux deux théorèmes très-importans qui suivent :