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NUMÉRIQUES.

$\scriptstyle \mathrm {D} ^{5}$$\operatorname {Log} .Y=-24\Sigma {\frac {r^{5}}{t^{5}}},$

$\scriptstyle \mathrm {D} ^{6}$$\operatorname {Log} .Y=+120\Sigma {\frac {r^{6}}{t^{6}}},$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

6. Ces sommes de fractions se trouvent facilement, par les formules connues. On a, en effet,

${\begin{aligned}\Sigma {\tfrac {r^{2}}{t^{2}}}&={\tfrac {r}{t}}+{\tfrac {r^{2}}{2t^{2}}}+2B_{2}{\tfrac {r^{3}}{t^{3}}}+4B_{4}{\tfrac {r^{5}}{t^{5}}}+6B_{6}{\tfrac {r^{7}}{t^{7}}}+\ldots ,\\\Sigma {\tfrac {r^{3}}{t^{3}}}&={\tfrac {r^{2}}{2t^{2}}}+{\tfrac {r^{3}}{2t^{3}}}+3B_{2}{\tfrac {r^{4}}{t^{4}}}+10B_{4}{\tfrac {r^{6}}{t^{6}}}+21B_{6}{\tfrac {r^{8}}{t^{8}}}+\ldots ,\\\Sigma {\tfrac {r^{4}}{t^{4}}}&={\tfrac {r^{3}}{3t^{3}}}+{\tfrac {r^{4}}{2t^{4}}}+4B_{2}{\tfrac {r^{5}}{t^{5}}}+20B_{4}{\tfrac {r^{7}}{t^{7}}}+56B_{6}{\tfrac {r^{9}}{t^{9}}}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

Toutes ces séries peuvent être regardées comme convergentes à volonté, attendu qu’on n’aura qu’à calculer à part quelques-uns des premiers termes de $\Sigma {\tfrac {r^{n}}{t^{n}}},$ et employer ensuite la formule, pour trouver la somme des autres. Lorsque, dans ces formules, on suppose à $r$ une valeur imaginaire, on est conduit à une suite de théorèmes du plus grand intérêt dans l’analise, et sur lesquels nous reviendrons en son lieu.

7. En désignant par la série

$Ay+By^{2}+Cy^{3}+Dy^{4}+\ldots ,$

ordonnée suivant les puissances de l’exposant $y,$ le logarithme naturel de la factorielle $a^{y|r},$ les coefficienss $A,B,C,D,\ldots$ seront ce que deviennent les dérivées de ce logarithme, dans le cas de $y=0,$ ou de $t=a,$ respectivement divisées par $1,2,6,24,120,\ldots .$ On aura ainsi

${\begin{aligned}A&=\operatorname {Log} .a-\Lambda {\tfrac {r}{a}},\\B&=+{\tfrac {1}{2}}\Sigma {\tfrac {r^{2}}{a^{2}}},\\C&=-{\tfrac {1}{3}}\Sigma {\tfrac {r^{3}}{a^{3}}},\\\end{aligned}}$