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RÉSOLUES.

Les solutions de ce problème, fournies par MM. Le Grand, Rochat et Dubain, étant les mêmes, quant au fond, et ne présentant que quelques légères différences de rédaction, il va en être rendu compte dans un même article.

Soient $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots A_{g},\ldots A_{h},\ldots A_{n}$ les nombres de la première suite, rangés par ordre de grandeur, du plus grand au plus petit ; et supposons que ceux de la seconde, rangés comme ils doivent l’être, pour donner lieu au $\scriptstyle \left\{{\begin{aligned}&maximum\\&minimum\\\end{aligned}}\right\}$ soient $B_{1},B_{2},B_{3},\ldots B_{g},\ldots B_{h},\ldots B_{n}$

I.^er CAS. Pour la somme des produits.

Puisque

$A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+\ldots A_{g}B_{g}+\ldots A_{h}B_{h}+\ldots A_{n}B_{n}=P,$

est un $\scriptstyle \left\{{\begin{aligned}&maximum\\&minimum\\\end{aligned}}\right\}$ il faut que, les nombres de la première suite conservant toujours le même ordre, la permutation entre eux de deux quelconques des termes de la seconde suite donne un résultat $\scriptstyle \left\{{\begin{aligned}&moindre\\&plus\ grand\\\end{aligned}}\right\}$ que le précédent : c’est-à-dire, qu’en écrivant

$A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+\ldots A_{g}B_{h}+\ldots A_{h}B_{g}+\ldots A_{n}B_{n}=Q,$

on doit avoir

$Q\lessgtr P$

ou, en substituant, et supprimant, de part et d’autre, les termes communs,

$A_{g}B_{h}+A_{h}B_{g}\lessgtr A_{g}B_{g}+A_{h}B_{h},$

ou, en transposant et décomposant,