Supposant, 2.o que les surfaces et doivent être des maxima ou des minima, M. Rochat trouve pour un maximum fini et un minimum zéro et pour un minimum fini et un maximum infini.
Passant alors au cas particulier où le triangle demandé doit être équilatéral, M. Rochat détermine les valeurs de qui, dans ce cas, conviennent au maximum de et au minimum de , et il enseigne à construire ces valeurs.
Retournant ensuite aux valeurs générales de et et supposant que l’indéterminée est la même dans l’une et dans l’autre, ou, ce qui revient au même, que les côtés homologuas des triangles et , le premier circonscrit et le second inscrit à sont parallèles ; il obtient, en multipliant ces valeurs, d’où il conclut cet élégant théorème.
Si à un triangle quelconque on en circonscrit un autre aussi quelconque ; qu’à celui-ci on en circonscrive un troisième , ayant ses côtés respectivement parallèles à ceux de ; puis, qu’on circonscrive à un nouveau triangle , dont les côtés soient respectivement parallèles à ceux de , et ainsi de suite, les aires des triangles , lesquels seront semblables de deux en deux, formeront une progression par quotiens.
Nous croyons devoir, à ce sujet, mentionner ici un autre théorème fort analogue à celui-là, et qui se démontre facilement, soit par l’analise, soit par la géométrie.
Si des triangles , sont tels que les côtés de chacun soient respectivement égaux aux droites qui, dans celui qui le précède, joignent les sommets des angles aux milieux des côtés opposés ; les aires de ces triangles, lesquels seront semblables de deux en deux, formeront une progression décroissante par quotiens dont la raison sera
Nous terminerons par observer que les deux problèmes qui font le sujet principal de cet article, ont été résolus par M. Lhuilier, dans les Élémens d’analise géométrique et d’analise algébrique, ouvrage remarquable par le grand nombre des problèmes qui y sont traités.
