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QUESTIONS

on pourra lui en inscrire un autre plus petit que $\mathrm {DEF}$ et toujours semblable à $t'$ ; soit $\mathrm {D'E'F'}$ ce triangle ; par $\mathrm {D,E,F}$, soient menées trois droites $\mathrm {B'C',C'A',A'B'}$, faisant avec ses côtés les mêmes angles que font $\mathrm {BC,CA,AB}$, avec leurs homologues dans le triangle $\mathrm {D'E'F'}$ ; le triangle $\mathrm {A'B'C'}$ se trouvant alors, par rapport au triangle $\mathrm {DEF}$, ce qu’est le triangle $\mathrm {ABC}$ par rapport au triangle $\mathrm {D'E'F'}$, on aura

$\mathrm {\frac {DEF}{D'E'F'}} =\mathrm {\frac {A'B'C'}{ABC}} ~;$

si donc on pouvait avoir $\mathrm {D'E'F'} <\mathrm {DEF}$, il faudrait qu’on eût aussi $\mathrm {ABC} <\mathrm {A'B'C'}$ ; ainsi, contrairement à l’hypothèse, le triangle $\mathrm {A'B'C'}$, semblable à t comme $\mathrm {ABC}$, et circonscrit comme lui à $\mathrm {DEF}$, serait plus grand que $\mathrm {ABC}$.

2.^o Si deux cercles se coupent, de toutes les droites menées par l’une de leurs intersections et terminées à leurs circonférences, la plus longue est la parallèle à la droite qui joint leurs centres, ou, ce qui revient au même, la perpendiculaire à leur corde commune ; et la longueur de cette droite est double de la distance entre les centres des deux cercles^[1].

Ces principes établis, voici à quoi se réduit la solution des deux problèmes proposés.

Solution du 1.^er problème. Soit $\mathrm {ABC}$ (fig. 6) un triangle donné, auquel il faille circonscrire un triangle semblable à un autre triangle donné $def$, et qui soit le plus grand possible.

Sur les côtés $\mathrm {CA}$ et $\mathrm {CB}$ du triangle $\mathrm {ABC}$ soient décrits extérieurement des arcs $\mathrm {CEA,CDB}$ respectivement capables des angles $e$ et $d$ ; soient $\mathrm {H}$ et $\mathrm {G}$ les centres des cercles dont ces arcs font partie ; soit $\mathrm {I}$ l’intersection de ces cercles, et soient menées $\mathrm {HG}$ et $\mathrm {CI}$. Par le point $\mathrm {C}$ soit menée $\mathrm {DE}$ parallèle à $\mathrm {GH}$, ou perpendiculaire à $\mathrm {CI}$, et terminée en $\mathrm {D}$ et $\mathrm {E}$ aux deux arcs ; en menant ensuite $\mathrm {DB}$ et $\mathrm {EA}$ concourant en $\mathrm {F}$, le triangle $\mathrm {DEF}$ sera le triangle demandé.

1. Voyez les pag. 24 et 26 de ce volume.