PROBLÈME II. À un triangle donné inscrire un triangle semblable à un autre triangle donné, et qui soit le plus petit possible ?
MM. Rochat, professeur de navigation à Saint-Brieux, Vecten, professeur de mathématiques spéciales au lycée de Nismes, et Fauquier, élève du même lycée, ont également fondé les solutions qu’ils ont données de ces deux problèmes sur les considérations suivantes.
1.o Deux triangles et étant donnés d’espèce, et deux autres triangles respectivement semblables à ceux-là, étant inscrits l’un à l’autre, à par exemple ; si est le plus petit des triangles semblables à qu’il soit possible d’inscrire à , ce triangle sera le plus grand des triangles semblables à qu’il soit possible de circonscrire à , et réciproquement.
Voici à peu près de quelle manière M. Rochat démontre cette proposition. Soit (fig. 5) un triangle semblable à et soit le plus petit de tous les triangles semblables à qu’il soit possible de lui inscrire. Si n’est pas le plus grand des triangles semblables à qu’il soit possible de circonscrire à on pourra circonscrire à ce dernier un triangle semblable à plus grand que ; soit ce triangle ; soient coupés les côtés de en comme le sont ceux de en , et soit formé le triangle . Ce dernier étant disposé par rapport à de la même manière que l’est le triangle par rapport au triangle , on doit avoir évidemment
si donc on pouvait avoir , on devrait avoir aussi ; ainsi, contrairement à l’hypothèse, le triangle
semblable à comme , et inscrit comme lui à , serait moindre que .
La réciproque de cette proposition n’est pas plus difficile à établir. Soit en effet le plus grand des triangles semblables à qu’il soit possible de circonscrire à ; si n’est pas le plus petit de tous les triangles semblables à qu’il soit possible d’inscrire à ,
