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TRIGONOMÉTRIQUES.

$\operatorname {Cos} .\alpha +\mathrm {A} \operatorname {Sin} .\alpha =\mathrm {B} \qquad$(1)

dans laquelle $\alpha$ est l’inconnue, et $\mathrm {A,B,}$ des quantités données dont la dernière n’excède pas l’unité.

On peut parvenir fort simplement au but sans recourir aux propriétés de l’ellipse dont l’emploi, en cette rencontre, semble tout à fait hors de propos.

Soient posés, en effet,

${\begin{array}{lr}B=\operatorname {Cos} .\beta ,&(2)\\A=\operatorname {Sin} .\beta .\operatorname {Cot} .\gamma ,&(3)\\\end{array}}$

l’équation (1) deviendra

$\operatorname {Cos} .\alpha +\operatorname {Sin} .\alpha .\operatorname {Sin} .\beta .\operatorname {Cot} .\gamma -\operatorname {Cos} .\beta =0,$

d’où on tire en doublant,

${\frac {2.\operatorname {Cos} .\alpha -2\operatorname {Cos} .\beta }{\operatorname {Sin} .\alpha .\operatorname {Sin} .\beta }}=-2\operatorname {Cot} .\gamma =-{\frac {2.\operatorname {Cos} .\gamma }{\operatorname {Sin} .\gamma }},$

ou encore

${\frac {(1+\operatorname {Cos} .\alpha )(1-\operatorname {Cos} .\beta )-(1-\operatorname {Cos} .\alpha )(1+\operatorname {Cos} .\beta )}{\operatorname {Sin} .\alpha .\operatorname {Sin} .\beta }}={\frac {(1-\operatorname {Cos} .\gamma )-(1+\operatorname {Cos} .\gamma )}{\operatorname {Sin} .\gamma }}~;$

équation qui peut être mise sous cette forme

${\frac {2.\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {1}{2}}\alpha .2\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}\beta -2\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}\alpha .2\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {1}{2}}\beta }{2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}\alpha .\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}\alpha .2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}\beta .\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}\beta }}={\frac {2\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}\gamma -2\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {1}{2}}\gamma }{2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}\gamma .\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}\gamma }},$

ou en simplifiant,

$\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}\alpha .\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta -\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\alpha .\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}\beta =\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\gamma -\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}\gamma ~;$

équation qui peut être écrite ainsi

$(\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}\alpha .-\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}\beta .\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\gamma )(\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta +\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\alpha .\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}\gamma )=0~;$

égalant successivement chaque facteur à zéro, on obtiendra

${\begin{array}{lr}\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\alpha =\quad \operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta .\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}\gamma ,&(4)\\\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\alpha =-\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta .\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\gamma .&(5)\end{array}}$