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FORMULES

Calcul. $\mathrm {CD=AD} .\operatorname {Cot} .\mathrm {B} ,\qquad \mathrm {C'D=AD} .\operatorname {Cot} .\mathrm {B'} ,$

$\mathrm {DZ} ^{2}={\frac {\mathrm {CC'} ^{2}}{\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {D} }}~;$

$\mathrm {CC'^{2}=CD^{2}+C'D^{2}-2CD.C'D} .\operatorname {Cos} .\mathrm {D}$

$=\mathrm {AD} ^{2}\left\{\operatorname {Cot} .^{2}\mathrm {B} -2\operatorname {Cot} .\mathrm {B} .\operatorname {Cot} .\mathrm {B'} .\operatorname {Cos} .\mathrm {D} +\operatorname {Cot} .^{2}\mathrm {B'} \right\}$

donc

$\mathrm {DZ^{2}=AD} ^{2}.{\frac {\operatorname {Cot} .^{2}\mathrm {B} -2\operatorname {Cot} .\mathrm {B} .\operatorname {Cot} .\mathrm {B'} .\operatorname {Cos} .\mathrm {D} +\operatorname {Cot} .^{2}\mathrm {B'} }{\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {D} }}~;$

donc aussi

$\mathrm {AZ^{2}=AD^{2}+DZ} ^{2}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {AA'} ^{2}\left\{1+{\tfrac {\operatorname {Cot} .^{2}\mathrm {B} -2\operatorname {Cot} .\mathrm {B} .\operatorname {Cot} .\mathrm {B'} .\operatorname {Cos} .\mathrm {D} +\operatorname {Cot} .^{2}\mathrm {B'} }{\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {D} }}\right\}.$

De là on peut exprimer le rayon de la sphère circonscrite à un tétraèdre dans les élémehs de l’un de ses angles solides tels que $\mathrm {A}$, en substituant à $\operatorname {Cot} .\mathrm {B}$ et $\operatorname {Cot} \mathrm {B'}$ les valeurs suivantes.

$\operatorname {Cot} .\mathrm {B} ={\frac {\mathrm {AB-AA'} .\operatorname {Cos} .\mathrm {BAA'} }{\mathrm {AA'} .\operatorname {Sin} .\mathrm {BAA'} }},\quad \operatorname {Cot} .\mathrm {B'} ={\frac {\mathrm {AB'-AA'} .\operatorname {Cos} .\mathrm {B'AA'} }{\mathrm {AA'} .\operatorname {Sin} .\mathrm {B'AA'} }}.$

TRIGONOMÉTRIE.

Démonstrations de quelques formules de trigonométrie
sphérique ;

Par M. Servois, professeur de mathématiques aux écoles
d’artillerie de Lafère.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

I.

On trouve, dans les œuvres de Goudin (Paris 1803), un mémoire qui a pour titre : Usages de l’ellipse dans la trigonométrie sphérique, et où l’auteur, entre autres applications, s’occupe de la résolution de l’équation