de l’un de ses angles solides, savoir : dans les trois arêtes de cet angle solide, dans les angles que font ces arêtes deux à deux, enfin dans les angles que forment deux à deux les faces qui les contiennent ; il est aisé d’exprimer ce rayon dans six seulement de ces élémens, en substituant aux inclinaisons des faces les angles de ces faces et réciproquement.
Mais, de même que le rayon du cercle circonscrit a un triangle peut être exprimé dans deux seulement des élémens de ce triangle : savoir, dans un de ses côtés et dans l’angle qui lui est opposé ; on peut aussi exprimer le rayon de la sphère circonscrite à un tétraèdre dans quatre seulement des élémens de ce tétraèdre ; savoir, dans une de ses arêtes, dans l’inclinaison des deux faces dont cette arête est la commune section et dans les angles opposés à cette arête dans les plans de ces faces.
En effet, soient (fig.4) les extrémités de l’une des arêtes d’un tétraèdre ; soient , les sommets apposés à cette arête, dans les plans des faces , que les angles , soient donnés ; et que l’inclinaison de ces deux faces soit aussi donnée. Je dis que le rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre est déterminé par ces quatre élémens du tétraèdre.
Soient les centres respectifs des cercles circonscrits aux faces ; l’arête ainsi que les angles étant donnés, les points seront donnés sur les plans de ces faces.
De ces points , soient abaissées sur l’arête des perpendiculaires ; elles rencontreront cette arête au même point qui en est le milieu, et l’angle sera l’inclinaison connue des deux faces
Des points, soient élevées aux plans des faces , des perpendiculaires qui se coupent en ; le point sera le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre proposé.
Or, dans le quadrilatère dont les angles sont donnés, et dont les côtés , sont aussi donnés, la diagonale est déterminée, et partant, le quarré de qui est égal à la somme des quarrés de et de , est aussi déterminé.
