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CENTRE DES MOYENNES DISTANCES

Pour abréger, soit le troisième terme de cette proportion désigné par $\mathrm {Q} ^{2}$, on aura $\mathrm {CZ} ={\frac {r}{2\mathrm {S} }}.\mathrm {Q} ~;$ d’où on conclura

$\operatorname {Cos} .\mathrm {ZCA} ={\frac {\mathrm {C} a}{\mathrm {CZ} }}={\frac {r.{\frac {\sqrt {\mathrm {P} }}{2\mathrm {S} }}.{\frac {\mathrm {BB} '}{\operatorname {Sin} .\mathrm {BB} '}}}{{\frac {r}{\mathrm {S} }}.\mathrm {Q} }}={\frac {\sqrt {\mathrm {P} }}{2\mathrm {Q} }}.{\frac {\mathrm {BB} '}{\operatorname {Sin} .\mathrm {BB} '}}.$

On aura donc

${\begin{aligned}\operatorname {Cos} .\mathrm {ZCA} &={\frac {\sqrt {\mathrm {P} }}{2\mathrm {Q} }}.{\frac {\mathrm {BB} '}{\operatorname {Sin} .\mathrm {BB} '}},\\\operatorname {Cos} .\mathrm {ZCB} &={\frac {\sqrt {\mathrm {P} }}{2\mathrm {Q} }}.{\frac {\mathrm {AB} '}{\operatorname {Sin} .\mathrm {AB} '}},\\\operatorname {Cos} .\mathrm {ZCB} '&={\frac {\sqrt {\mathrm {P} }}{2\mathrm {Q} }}.{\frac {\mathrm {AB} }{\operatorname {Sin} .\mathrm {AB} }}.\\\end{aligned}}$

Partant, la position du centre des moyennes distances d’un triangle sphérique proposé est entièrement déterminée, soit par la position du rayon sur lequel ce centre se trouve, ou par les inclinaisons de ce rayon aux rayons menés aux trois sommets, soit par la distance de ce centre au centre de la sphère à laquelle ce triangle appartient.

Exemple. Que le triangle proposé soit un octant, on aura

$\mathrm {CZ} ^{2}={\tfrac {3}{4}}r^{2}~;\qquad \mathrm {CA=CB=CB'} ={\tfrac {1}{2}}r$

Application. La distance au sommet du centre des moyennes distances d’une pyramide dont la base est un triangle sphérique, est ${\tfrac {3}{8}}r.{\frac {\mathrm {Q} }{\mathrm {S} }}.$

Que le triangle soit un octant, cette distance sera ${\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}r={\frac {13}{20}}r$ à peu près.

§. 9.

Au lieu d’exprimer, comme je l’ai fait dans le § précédent, le rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre dans les neuf élémens