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CENTRE DES MOYENNES DISTANCES

$2r^{3}.{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S} -r^{3}{\sqrt {\mathrm {P} }}.{\frac {\mathrm {BB} '}{\operatorname {Sin} .\mathrm {BB} '}},$

$=r^{3}.\mathrm {S} -r^{3}{\sqrt {\mathrm {P} }}.{\frac {\mathrm {BB} '}{\operatorname {Sin} .\mathrm {BB} '}}.$

§. 7.

Puisque $r^{2}\mathrm {S}$ est la surface du triangle $\mathrm {BAB} '$, la distance au plan tangent en $\mathrm {A}$ du centre des moyennes distances de ce triangle, est

$r-r.{\frac {\sqrt {\mathrm {P} }}{\mathrm {S} }}.{\frac {\mathrm {BB} '}{\operatorname {Sin} .\mathrm {BB} '}}.$

La distance de ce centre au plan mené par le centre de la sphère perpendiculairement au rayon $\mathrm {CA}$, est donc

$r.{\frac {\sqrt {\mathrm {P} }}{\mathrm {S} }}.{\frac {\mathrm {BB} '}{\operatorname {Sin} .\mathrm {BB} '}}.$

ce qui donne la proposition suivante :

THÉORÈME. Du centre des moyennes distances d’un triangle sphérique soient abaissées des perpendiculaires sur les rayons menés à ses sommets. Les segmens de ces rayons retranchés depuis le centre de la sphère, sont entre eux comme les exposans des rapports que les arcs opposés à ces rayons ont à leurs sinus ; et le coefficient constant de l’exposant de ce rapport est $r.{\frac {\sqrt {\mathrm {P} }}{\mathrm {S} }}.$

Remarque. On a ${\sqrt {\mathrm {P} }}=2\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S} .\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {AB} .\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {AB} '$$.\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {BB} '\,;$ donc ce coefficient constant est aussi

$r.{\frac {\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S} }{{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S} }}.\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {AB} .\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {AB} '.\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {BB} '.$

§. 8.

Soit $\mathrm {Z}$ le centre des moyennes distances du triangle sphérique $\mathrm {BAB} '$ (fig. 3), et soient $\mathrm {Z} a,\mathrm {Z} b,\mathrm {Z} b',$ les perpendiculaires abaissées du