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FORMULES

de la première ; en posant ${\tfrac {1+y}{1-y}}=x$ , d’où $y={\tfrac {x-1}{x+1}},$ on obtiendra la formule déjà connue

\mathrm {l} x=2\left\{\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)+{\tfrac {1}{3}}\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)^{3}+{\tfrac {1}{5}}\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)^{5}+\ldots \right\},\;\mathrm {(C)}

qui est convergente et assez simple.

Voilà les seules formules de ce genre, du moins à ma connaissance, qui ont été trouvées jusqu’à présent. Mais mes recherches sur cet objet m’ont conduit à la formule suivante

\mathrm {l} x={\tfrac {x-1}{x}}\left\{{\tfrac {x+1}{2}}-\left[{\tfrac {1}{1\cdot 3}}\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)^{2}+{\tfrac {1}{3\cdot 5}}\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)^{4}+{\tfrac {1}{5\cdot 7}}\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)^{6}+\ldots \right]\right\},\;\mathrm {(D)}

qui est beaucoup plus convergente que la formule $\mathrm {(C)}$ , et qui se démontre comme je vais l’expliquer^[1].

On sait qu’en prenant l’intégrale de la formule $\mathrm {d} z{\sqrt {1+z^{2}}},$ de manière que cette intégrale s’évanouisse lorsque z=0, on a complètement

\int \mathrm {d} z{\sqrt {1+z^{2}}}={\tfrac {1}{2}}\left\{z{\sqrt {1+z^{2}}}+l(z+{\sqrt {1+z^{2}}})\right\},

↑ Si, dans les formules $\mathrm {(C),(D)}$ , on fait $x={\tfrac {u}{t}},$ elles deviendront
$\mathrm {l} u=\mathrm {l} t+2\left\{\left({\tfrac {u-t}{u+t}}\right)+{\tfrac {1}{3}}\left({\tfrac {u-t}{u+t}}\right)^{3}+{\text{⅕}}\left({\tfrac {u-t}{u+t}}\right)^{5}+\ldots \right\},\mathrm {(C} ')$

$\mathrm {l} u=\mathrm {l} t+{\tfrac {u-t}{ut}}\left\{{\tfrac {u+t}{2t}}-\left[{\tfrac {1}{1.3}}\left({\tfrac {u-t}{u+t}}\right)^{2}+{\tfrac {1}{3.5}}\left({\tfrac {u-t}{u+t}}\right)^{4}+{\tfrac {1}{5.7}}\left({\tfrac {u-t}{u+t}}\right)^{6}+\ldots \right]\right\},\mathrm {(D} ')$

formules qui convergeront rapidement, si l’on prend pour $t$ et $u$ deux nombres très grands et très-peu differens, et qui seront susceptibles de toutes les applications qui ont été détaillées dans ce recueil (tom. 1, pag. 79 et suivantes). Mais, ce qui rend sur-tout précieux le concours de ces deux formules, c’est que, la première étant toujours fautive par défaut et la seconde par excès, leur emploi simultané peut seul faire connaître la limite de l’erreur que peut donner l’usage de l’une ou de l’autre.

(Note des éditeurs.)

[1] Si, dans les formules $\mathrm {(C),(D)}$ , on fait $x={\tfrac {u}{t}},$ elles deviendront
$\mathrm {l} u=\mathrm {l} t+2\left\{\left({\tfrac {u-t}{u+t}}\right)+{\tfrac {1}{3}}\left({\tfrac {u-t}{u+t}}\right)^{3}+{\text{⅕}}\left({\tfrac {u-t}{u+t}}\right)^{5}+\ldots \right\},\mathrm {(C} ')$

$\mathrm {l} u=\mathrm {l} t+{\tfrac {u-t}{ut}}\left\{{\tfrac {u+t}{2t}}-\left[{\tfrac {1}{1.3}}\left({\tfrac {u-t}{u+t}}\right)^{2}+{\tfrac {1}{3.5}}\left({\tfrac {u-t}{u+t}}\right)^{4}+{\tfrac {1}{5.7}}\left({\tfrac {u-t}{u+t}}\right)^{6}+\ldots \right]\right\},\mathrm {(D} ')$

formules qui convergeront rapidement, si l’on prend pour $t$ et $u$ deux nombres très grands et très-peu differens, et qui seront susceptibles de toutes les applications qui ont été détaillées dans ce recueil (tom. 1, pag. 79 et suivantes). Mais, ce qui rend sur-tout précieux le concours de ces deux formules, c’est que, la première étant toujours fautive par défaut et la seconde par excès, leur emploi simultané peut seul faire connaître la limite de l’erreur que peut donner l’usage de l’une ou de l’autre.

(Note des éditeurs.)

[1]