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FORMULES LOGARITHMIQUES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

ANALISE.

Formule nouvelle pour calculer les logarithmes ;

Par M. du Bourguet, professeur de mathématiques spéciales
au lycée impérial.

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On sait qu’en représentant par $\mathrm {l}$ la caractéristique des logarithmes naturels, on a généralement

$\mathrm {l} x={\frac {(x-1)}{1}}-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\ldots$ $\mathrm {(A)}$.

Cette série, qui ne peut converger lorsque $x>2$, a cependant été mise par Lagrange sous une forme très-convergente, en substituant à $x$ la quantité ${\sqrt[{n}]{x}}$ ; ce qui a donné à ce grand géomètre l’équation

$\mathrm {l} x=n\left\{{\frac {({\sqrt[{n}]{x}}-1)}{1}}-{\frac {({\sqrt[{n}]{x}}-1)^{2}}{2}}+{\frac {({\sqrt[{n}]{x}}-1)^{3}}{3}}+\ldots \right\}$ $\mathrm {(B)}$.

dont le second membre converge rapidement lorsqu’on prend $n$ assez grand pour que ${\sqrt[{n}]{x}}$ n’excède l’unité que d’une très-petite fraction ; mais la longueur du calcul qu’exige l’extraction de la racine $n$ de $x$, lors même qu’on prend $n$ égale à une puissance exacte de 2, afin de n’avoir que des extractions de racines quarrées à effectuer, a fait rejeter cette formule, lorsqu’on a voulu calculer des tables de logarithmes.

Si l’on substitue successivement $1+y$ et $1-y$ à la place de $x$ dans l’équation $\mathrm {(A)}$, qu’ensuite on retranche la seconde équation trouvée