Il résulte des considérations précédentes que la méthode d’élimination par la recherche du commun diviseur, fait reconnaître toutes les circonstances et tous les cas particuliers que peut présenter un problème du premier degré[1].
- ↑ On ne saurait contester à M. Raymond l’utilité, on pourrait presque dire la nécessité, de commencer par le premier degré l’application des procédés
généraux d’élimination ; mais ce serait une erreur de croire qu’il faille se borner, pour
ce degré, à ces procédés généraux qui ont principalement pour objet d’éluder la
résolution des équations par rapport aux inconnues qu’il s’agit de faire disparaître,
ce qui n’est en effet d’aucun avantage lorsque les équations sont du premier degré.
La méthode du commun diviseur en particulier n’a pu naître que de réflexions qui
supposent déjà une certaine habitude de l’analise, tandis que, pour le premier degré,
l’élimination, soit par les substitutions soit par l’expression de l’égalité entre diverses
valeurs d’une même inconnue, se présente, pour ainsi dire, d’elle-même à l’esprit.
La méthode d’élimination par les multiplicateurs indéterminés re doit pas non plus être négligée, d’autant qu’elle a pour analogue, dans les degrés supérieurs, celle qui a été présentée par Bezout dans sa Théorie des équations algébriques ; mais, pour lui donner toute l’élégance et la simplicité dont elle peut être susceptible, il convient d’employer autant de multiplicateurs que d’équations ; ce qui permet de n’admettre, pour ces multiplicateurs, que des valeurs entières, et montre ainsi, dès les premiers pas dans l’analise, l’avantage qu’il peut y avoir à introduire dans une question plus d’indéterminées que sa nature ne semble l’exiger.
Soient d’abord les deux équations
revient, en géométrie, à chercher le point commun à trois plans dont deux sont parallèles.
Il peut arriver aussi que deux des équations proposées soient équivalentes, et alors, si la troisième est incompatible avec l’une d’elles, elle le sera aussi avec l’autre ; ainsi, dans ce cas, le problème sera indéterminé dans un sens, et impossible dans l’autre. Ce cas répond, en géométrie, à la recherche du point commun à trois plans dont deux se confondent et dont le troisième leur est parallèle.
Il peut enfin arriver que, de quelque manière que l’on prenne les trois équations deux à deux, elles ne soient pas incompatibles, et que néanmoins le problème soit impossible, à raison de la contradiction qui existera entre les deux équations qui résulteront de l’élimination d’une même inconnue entre elles. C’est, en géométrie, le cas de la recherche du point commun à trois plans qui, sans être parallèles entre eux, sont parallèles à une même droite, et se coupent conséquemment deux à deux suivant trois droites parallèles.
