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ÉLIMINATION

tuer la valeur de $y$ dans l’une das équations proposées, pour en tirer la valeur correspondante de $x$ ^[1].

6. Si les équations proposées n’avaient pas de dernier terme, auquel cas on sait que les inconnues sont nécessairement nulles ou indéterminées, le reste $\mathrm {(R)}$ égalé à zéro, se réduirait à

(ab'-ba')y=0~;

condition qui ne peut être satisfaite que de deux manières, savoir,

1.^o par la nullité du coefficient de $y$ , ce qui rentre dans le cas exposé plus bas (10) et donne $y={\frac {0}{0}}~;$ 2.^o par la valeur $y=0,$ d’où résulte aussi $x=0.$

7. Soit maintenant le système des trois équations

\left.{\begin{aligned}a\,\ x+b\,\ y+c\,\ z-d\ \ &=0,\\a'\,x+b'\,y+c'\,z-d'\ &=0,\\a''x+b''y+c''z-d''&=0.\end{aligned}}\right\}(\mathrm {C} )

Divisant successivement le premier membre de chacune des deux dernières par le premier membre de la première, et égalant les restes à zéro, on aura

(ab'\,-ba'\,)y+(ac'\,-ca'\ )z+da'\,-ad'\,=0,\quad

(R’)

(ab''-ba'')y+(ac''-ca'')z+da''-ad''=0.\quad

(R")

Divisant ensuite le premier membre de l’équation ( $\mathrm {R'')}$ par le premier membre de l’équation $\mathrm {(R')}$ , et égalant à zéro le nouveau reste, on aura

↑ On peut objecter que la méthode de soustraction ne diffère en aucune manière de celle que j’indique, soit dans la modification préalable des deux équations données, soit dans l’usage du reste employé à déterminer l’inconnue qu’on n’a pas éliminée. Cela est vrai, et je l’ai déjà observé plus haut (1). Mais je réponds que le raisonnement diffère complètement dans les deux procédés ; que celui de la soustraction, employée comme telle, ne se présente que comme un simple artifice de calcul ; qu’il n’éclaire pas l’esprit et ne répand aucun jour sur la détermination simultanée et réciproque des deux inconnues ; qu’enfin il exclut toute application aux équations des degrés supérieurs.

[1] On peut objecter que la méthode de soustraction ne diffère en aucune manière de celle que j’indique, soit dans la modification préalable des deux équations données, soit dans l’usage du reste employé à déterminer l’inconnue qu’on n’a pas éliminée. Cela est vrai, et je l’ai déjà observé plus haut (1). Mais je réponds que le raisonnement diffère complètement dans les deux procédés ; que celui de la soustraction, employée comme telle, ne se présente que comme un simple artifice de calcul ; qu’il n’éclaire pas l’esprit et ne répand aucun jour sur la détermination simultanée et réciproque des deux inconnues ; qu’enfin il exclut toute application aux équations des degrés supérieurs.

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