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DES SURFACES DU 2.^d DEGRÉ.

Pour cela posons les valeurs de $x',y',z'$ en $x,y,z,$ ces valeurs sont

$\qquad \qquad {\begin{aligned}x'&=x\operatorname {Cos} .\alpha +y\operatorname {Cos} .\beta +z\operatorname {Cos} .\gamma ,\\y'&=x\operatorname {Cos} .\alpha '+y\operatorname {Cos} .\beta '+z\operatorname {Cos} .\gamma ',\\z'&=x\operatorname {Cos} .\alpha ''+y\operatorname {Cos} .\beta ''+z\operatorname {Cos} .\gamma ''.\\\end{aligned}}$

Substituant ces valeurs dans l’équation $\mathrm {(I)}$, et comparant celle qui en résulte à l’équation $\mathrm {(II)}$, on trouve

$\qquad \left.{\begin{aligned}P\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +P'\operatorname {Cos} .^{2}\alpha '&+P''\operatorname {Cos} .^{2}\alpha ''=A,\\P\operatorname {Cos} .^{2}\beta +P'\operatorname {Cos} .^{2}\beta '&+P''\operatorname {Cos} .^{2}\beta ''=A',\\P\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +P'\operatorname {Cos} .^{2}\gamma '&+P''\operatorname {Cos} .^{2}\gamma ''=A'~;\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(C)}$

$\left.{\begin{aligned}P\operatorname {Cos} .\beta \cdot \operatorname {Cos} .\gamma +P'\operatorname {Cos} .\beta '\cdot \operatorname {Cos} .\gamma '&+P''\operatorname {Cos} .\beta ''\cdot \operatorname {Cos} .\gamma ''=B,\\P\operatorname {Cos} .\gamma \cdot \operatorname {Cos} .\alpha +P'\operatorname {Cos} .\gamma '\cdot \operatorname {Cos} .\alpha '&+P''\operatorname {Cos} .\gamma ''\cdot \operatorname {Cos} .\alpha ''=B',\\P\operatorname {Cos} .\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\beta +P'\operatorname {Cos} .\alpha '\cdot \operatorname {Cos} .\beta '&+P''\operatorname {Cos} .\alpha ''\cdot \operatorname {Cos} .\beta ''=B''.\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(D)}$

Il est visible que l’on parviendra à l’équation dont les racines sont $P,P',P'',$ en déterminant, au moyen des équations de condition, les valeurs de $P+P'+P'',PP'+P'P''+P''P,PP'P''.$

D’abord, si l’on ajoute les équations $\mathrm {(C)}$ on a, en vertu des équations $\mathrm {(A)}$,

$P+P'+P''=A+A'+A''.$

Pour simplifier les calculs suivans, je ferai usage des notations que voici

$AA'+A'A''+A''A=\int AA',$

$P^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\beta \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\gamma +P'^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\beta '\cdot \operatorname {Cos} .^{2}\gamma '+P''^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\beta ''\cdot \operatorname {Cos} .^{2}\gamma ''$

$=\int P^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\beta \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\gamma ,$

etc., etc., etc.

Cela posé, dans les équations $\mathrm {(C)}$, effectuons le produit $AA',$ nous obtiendrons

$AA'=\int P^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\beta$

$+\int PP'(\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\beta '+\operatorname {Cos} .^{2}\alpha '\cdot \operatorname {Cos} .^{2}\beta )~;$

or, les équations $\mathrm {(D)}$ donnent

$B''^{2}=\int P^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\beta +2\int PP'\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\beta '~;$