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RÉSOLUES.

d’où on conclura

$C={\frac {2B^{2}}{b^{2}\operatorname {Cot} .\gamma +b'^{2}\operatorname {Cot} .\gamma '+b''^{2}\operatorname {Cot} .\gamma ''+4B}}\;;$

de cette valeur de $C$ et de celle de $B$ résulte cette relation remarquable

${\frac {C}{B}}={\frac {c^{2}\operatorname {Cot} .\beta +c'^{2}\operatorname {Cot} .\beta '+c''^{2}\operatorname {Cot} .\beta ''}{b^{2}\operatorname {Cot} .\gamma +b'^{2}\operatorname {Cot} .\gamma '+b''^{2}\operatorname {Cot} .\gamma ''+4B}}.$

À l’aide de ce qui précède, on parviendra facilement aux résultats suivants.

I. Soient $a,a',a''$ les trois côtés d’un triangle donné, $A$ son aire, $\lambda ,\lambda ',\lambda ''$ des droites auxquelles les rayons des trois cercles inscrits doivent être proportionnels, et $r,r',r''$ ces rayons ; en posant, pour abréger,

$Q^{2}=\left\{{\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}a^{2}\left[\left(\lambda +\lambda '\right)^{2}+\left(\lambda +\lambda ''\right)^{2}-\left(\lambda '+\lambda ''\right)^{2}\right]\\+&{\tfrac {1}{2}}a'^{2}\left[\left(\lambda +\lambda '\right)^{2}+\left(\lambda '+\lambda ''\right)^{2}-\left(\lambda +\lambda ''\right)^{2}\right]+8A{\sqrt {\lambda \lambda '\lambda ''(\lambda +\lambda '+\lambda '')}},\\+&{\tfrac {1}{2}}a''^{2}\left[\left(\lambda +\lambda ''\right)^{2}+\left(\lambda '+\lambda ''\right)^{2}-\left(\lambda +\lambda '\right)^{2}\right]\\\end{aligned}}\right.$

il viendra

$r={\frac {2\lambda A}{\lambda a+\lambda 'a'+\lambda ''a''+Q}},$

$r'={\frac {2\lambda 'A}{\lambda a+\lambda 'a'+\lambda ''a''+Q}},$

$r''={\frac {2\lambda ''A}{\lambda a+\lambda 'a'+\lambda ''a''+Q}}.$

II. Si au contraire, les rayons $r,r',r''$ des trois cercles étant donnés, on demande les côtés $a,a',a''du$ plus grand triangle circonscrit dont les angles soient $\alpha ,\alpha ',\alpha ''\;;$ en posant, pour abréger,

$P^{2}=\left\{{\begin{aligned}&(r+r')^{2}\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\alpha '\operatorname {Cos} .\alpha ''\\+&(r'+r'')^{2}\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Sin} .\alpha '\operatorname {Sin} .\alpha ''+4\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\alpha '\operatorname {Sin} .\alpha ''{\sqrt {rr'r''(r+r'+r'')}},\\+&(r''+r)^{2}\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Sin} .\alpha ''\\\end{aligned}}\right.$

on trouvera

$a={\frac {r\operatorname {Sin} .\alpha +r'\operatorname {Sin} .\alpha '+r''\operatorname {Sin} .\alpha ''+P}{\operatorname {Sin} .\alpha '\operatorname {Sin} .\alpha ''}},$