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QUESTIONS

doit être équilatéral, il n’y a plus lieu au maximum-maximorum, ni au minimum-minimorum ; parce que les six solutions du problème se réduisent alors à une solution unique.

Il reste à prouver qu’en construisant de la manière qui vient d’être indiquée, on obtient, en effet, le minimum-minimorum, pour le premier problème, et conséquement le maximum-maximorum, pour le second.

Soit $\mathrm {CC'C''}$ (fig. 11) un triangle donné, dont les angles soient $\gamma ,\gamma ',\gamma ''$ ; soient décrits, sur les côtés de ce triangle, pris pour cordes, et extérieurement, des arcs de cercles respectivement capables des trois angles $\beta ,\beta ',\beta ''$ d’un triangle donné quelconque ; soient $\mathrm {D,D',D''}$ les centres de ces arcs, et soient joints ces points par des droites qui formeront le triangle $\mathrm {DD'D''}$ ; soit enfin circonscrit au triangle $\mathrm {CC'C''}$ un triangle $\mathrm {BB'B''}$ dont les côtés soient respectivement parallèles à ceux du triangle $\mathrm {DD'D''}$.

Soient joints $\mathrm {CD',CD''}$ ; et des points $\mathrm {D',D''}$ soient abaissées sur $\mathrm {CC''}$ et $\mathrm {CC'}$ les perpendiculaires $\mathrm {D'm'}$ et $\mathrm {D''m''}$ ; les points $m'$ et $m''$ seront les milieux de ces droites ; les angles $\mathrm {m'D'C}$ et $\mathrm {m''D''C}$ seront respectivement égaux aux angles $\beta '$ et $\beta ''$ ; et on aura de plus $\mathrm {D'D''}$ moitié de $\mathrm {B'B''.}$^[1]

Nommant donc $c,c',c''$ les trois côtés du triangle $\mathrm {CC'C''}$ et $\mathrm {bb'b''}$ ceux du triangle $\mathrm {BB'B''}$ ; on aura, $q$ étant le quadrans,

$\mathrm {D'D''} ={\tfrac {1}{2}}b,\quad Ang.\mathrm {D'CD''} =\left[\gamma +\left(q-\beta '\right)+\left(q-\beta ''\right)\right]=\beta +\gamma ,$

$\mathrm {CD'} ={\frac {c'}{2\operatorname {Sin} .\beta '}},\qquad \mathrm {CD''} ={\frac {c''}{2\operatorname {Sin} .\beta ''}}.$

Or, le triangle $\mathrm {D'CD''}$ donne

$\mathrm {{\overline {D'D''}}^{2}={\overline {CD'}}^{2}-2CD'\cdot CD''} \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {D'CD''+{\overline {CD''}}^{2}\;;}$

substituant donc, il viendra

1. Voyez la page 24 de ce volume.