cercles devenus plus petits, se trouverait comme celui des trois
cercles dont les centres sont inscrit à ce triangle, ce
qui est contre l’hypothèse.
Il résulte de ces considérations, et de ce que, sur une ligne donnée, on peut toujours construire une figure semblable à une figure donnée, que chacun des deux problèmes que présente la question proposée, peut, par de simples proportions, être ramené à l’autre. Or, comme un problème est réputé résolu, lorsqu’on en a ramené la solution à celle d’un autre problème qu’on sait résoudre, et comme d’ailleurs le dernier des deux problèmes proposés permet une construction facile, c’est le seul dont nous nous occuperons ici.
Soient donc (fig. 10) les centres de trois cercles donnés, se touchant deux à deux ; et proposons-nous de circonscrire à leur système, un triangle donné d’espèce, dont chaque côté touche un de ces cercles, et qui soit le plus grand possible. Concevons que le problème soit résolu, et que le triangle cherché soit Par les centres soient menées les droites respectivement parallèles à et formant par leur concours le triangle semblable à Soient enfin joints les centres par des droites qui formeront un triangle inscrit à
Cela posé, je dis que le triangle est le plus grand de tous les triangles semblables à qu’il soit possible de circonscrire au triangle donné . Si, en effet, il n’en était pas ainsi, on pourrait, au triangle circonscrire un triangle semblable à plus grand que ; et, en menant au cercle des tangentes parallèles aux côtés de ce dernier triangle, ces tangentes formeraient un nouveau triangle circonscrit aux trois cercles, semblable à , et évidemment plus grand que lui ; en sorte que, contrairement à l’hypothèse, ce dernier ne serait pas celui qui résout le problème.
Le dernier des deux problèmes proposés, et conséquemment le premier ; se trouve donc ramené au suivant ; À un triangle donné,
