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QUESTIONS

Or, il arrivera que ces douze points se trouveront, deux à deux situés sur douze nouvelles droites, concourant quatre à quatre aux trois points d’intersection des diagonales du quadrilatère proposé.

Les démonstrations de ce théorème ; données par MM. Legrand et Rochat, sont, l’une et l’autre, purement analitiques, et reviennent à peu près à ce qui suit.

Démonstration. Soit $\mathrm {AA'A''B'BB''}$ (fig. 5) le quadrilatère proposé, dont les diagonales sont $\mathrm {AB,A'B',A''B'',}$ se coupant, savoir : $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {A'B'}$ en $\mathrm {C'',\ AB}$ et $\mathrm {A''B''}$ en $\mathrm {C',A'B'}$ et $\mathrm {A''B''}$ en $\mathrm {C.}$ Soit joint le point $\mathrm {C}$ aux points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ par deux droites dont la première coupe les côtés $\mathrm {BA'',BA'}$ en $n$ et $q,$ et dont la seconde coupe les côtés $\mathrm {AA'',AB'}$ en $m$ et $p.$ Comme la construction serait évidemment la même pour le point $\mathrm {C'}$, relativement à la diagonale $\mathrm {A'B',}$ et pour le point $\mathrm {C'',}$ relativement à la diagonale $\mathrm {A''B''}$ ; il suffit de démontrer 1.^o que les droites $np$ et $mq$ concourent au point $\mathrm {C'}$ ; 2.^o que les droites $mn$ et $qp$ concourent au point $\mathrm {C''.}$

Soient prises $\mathrm {A''A}$ pour axe des $x$ et $\mathrm {A''B}$ pour axe des $y,$ et soient

$\mathrm {A''A} =a,\qquad \mathrm {A''A'} =a',\qquad \mathrm {A''B} =b,\qquad \mathrm {A''B'} =b'\;;$

on aura, d’après cela, pour les équations

$\qquad \qquad$du côté $\mathrm {AB'} \ldots \ldots \ldots ay+b'x=ab',$

$\qquad \qquad$du côté $\mathrm {A'B} \ldots \ldots \ldots a'y+bx=a'b,$

$\qquad \qquad$de la diagonale $\mathrm {AB} \ldots ay+bx=ab,$

$\qquad \qquad$de la diagonale $\mathrm {A'B'} \ldots a'y+b'x=a'b'\;;$

en conséquence, les équations du point $\mathrm {B''}$ seront

$x={\frac {aa'(b-b')}{ab-a'b'}},\qquad y={\frac {bb'(a-a')}{ab-a'b'}}\;;$

l’équation de la troisième diagonale $\mathrm {A''B''}$ sera donc

$aa'(b-b')y-bb'(a-a')=0\;;$

D’après cela on trouvera, pour les équations