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LIGNES

Or, si les lignes génératrices sont constamment inclinées en sens contraire, le point décrivant $\mathrm {M}$ se trouvera toujours compris entre les perpendiculaires $\mathrm {T} t$ et $\mathrm {T'} t'.$ menées à la droite $\mathrm {II'}$ par les points $\mathrm {I}$ et $\mathrm {I'}$ ; en sorte que ces perpendiculaires seront, dans le sens des $x,$ les limites de la courbe qui sera entièrement comprise entre elles.

Posant donc, dans ce cas,

$aa'=-{\frac {B^{2}}{A^{2}}},$

$B$ étant une nouvelle ligne, dont la valeur est donnée par la formule

$B=A{\sqrt {-aa'}},$

l’équation deviendra

$A^{2}y^{2}+B^{2}x^{2}=A^{2}B^{2}\;;$

c’est-à-dire, celle d’une ellipse dont les axes sont $\mathrm {2A}$ et $\mathrm {2B.}$

Si, en particulier, on avait $aa'=-1,$ il viendrait $B=A$ ; et l’ellipse deviendrait un cercle, ce qui est d’ailleurs évident, puisque la condition $aa'=-1$ ou $1+aa'=0$ étant celle de la perpendicularité des deux génératrices, l’angle $\mathrm {M}$ devrait constamment être droit.

Suivant qu’on aura

$-aa'<1\qquad$ou$\qquad -aa'>1$,

c’est-à-dire, suivant que l’angle $\mathrm {M}$ sera obtus ou aigu, on aura

${\frac {B^{2}}{A^{2}}}<1\qquad$ou$\qquad {\frac {B^{2}}{A^{2}}}>1$

c’est-à-dire,

$B<A\qquad$ou$\qquad B>A\;;$

l’ellipse sera donc décrite sur son grand axe dans le premier cas et sur son petit axe dans le second.

La droite $\mathrm {I'M}$ s’inclinant de plus en plus, viendra enfin coïncider avec $\mathrm {I'I}$ ; alors, $a'$ devenant zéro, $a$ devra devenir infini, c’est-à-dire, qu’alors $\mathrm {IM}$ se confondra avec $\mathrm {T} t$ ; ainsi $\mathrm {I}$ est un point de la courbe, et on en dirait autant de $\mathrm {I'.}$