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POLYÈDRES RÉGULIERS.

GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.

Relation entre le dodécaèdre et l’icosaèdre réguliers
inscrits à une même sphère ;

Par M. Flaugergues, astronome, correspondant de la
première classe de l’institut.

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Théorème. Soit $\mathrm {AB}$ (fig. 1) une ligne coupée en moyenne et extrême raison au point $\mathrm {C}$ ($\mathrm {AC}$ étant la médiane). Je dis que l’angle solide du dodécaèdre est à l’angle solide de l’icosaèdre^[1] comme $\mathrm {\left({\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}$ est à $\mathrm {15.{\overline {AB}}^{4}\left({\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}$ ; ces deux corps étant supposés inscriptibles à la même sphère^[2].

Démonstration I. Imaginons (fig. 2) trois pyramides dont le sommet commun soit au centre $\mathrm {D}$ de la sphère, qui aient pour bases trois faces contiguës à un angle solide du dodécaèdre inscrit, et qui soient par conséquent égales au quart de ce solide. Ayant tiré les lignes $\mathrm {FE,EG,GF,}$ imaginons des plans qui passent par

1. L’auteur entend ici par angle solide d’un polyèdre régulier, la portion de ce polyèdre détachée par un plan passant par les extrémités de celles de ses arêtes qui concourent à un même sommet ; portion qui est conséquemment une pyramide régulière.
2. Si l’on prend $\mathrm {AB}$ pour unité on aura $\mathrm {AC} ={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right),$$\mathrm {BC} ={\frac {1}{2}}\left(3-{\sqrt {5}}\right)\,;$ et la proposition de M. Flaugergues revendra à dire que l’angle solide du dodécaèdre est à l’angle solide de l’icosaèdre comme ${\sqrt {2^{5}-11{\sqrt {5}}}}$ est à $3{\sqrt {3\left(3-{\sqrt {5}}\right)}}.$
   (Note des éditeurs.)