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RÉSOLUES.

méthode de M. Lagrange déjà indiquée^[1]. Posant donc

$Z_{x,t}=a\alpha ^{x}\beta ^{t},$ d’où $Z_{x+1,t-1}=a\alpha ^{x+1}\beta ^{t-1},\quad Z_{x-1,t-1}=a\alpha ^{x-1}\beta ^{t-1},$

il viendra, en substituant, divisant par $a\alpha ^{x-1}\beta ^{t-1},$ et transposant,

$m\alpha ^{2}-\beta \alpha +N=0,$

cette équation étant successivement résolue par rapport à $\alpha$ et à $\beta$ donne

$\alpha ={\tfrac {\beta \pm {\sqrt {\beta ^{2}-4MN}}}{2M}},\qquad \beta ={\tfrac {M\alpha ^{2}+N}{\alpha }}\;;$

de là, en développant en série,

$\alpha ^{x}={\tfrac {1}{M^{x}}}\left\{\beta ^{x}-{\tfrac {x}{1}}MN\beta ^{x-2}+{\tfrac {x}{1}}\cdot {\tfrac {x-3}{2}}M^{2}N^{2}\beta ^{x-4}-\ldots \right\}$

$\beta ^{t}=M^{t}\alpha ^{t}+{\tfrac {t}{1}}M^{t-1}N\alpha ^{t-2}+{\tfrac {t}{1}}\cdot {\tfrac {t-1}{2}}M^{t-2}N^{2}\alpha ^{t-4}+\ldots \;;$

donc

$Z_{x,t}={\tfrac {a}{M^{x}}}\left\{\beta ^{x+t}-{\tfrac {x}{1}}MN\beta ^{x+t-2}+{\tfrac {x}{1}}\cdot {\tfrac {x-3}{2}}M^{2}N^{2}\beta ^{x+t-4}-\ldots \right\},$

$Z_{x,t}=a\left\{M^{t}\alpha ^{x+t}+{\tfrac {t}{1}}M^{t-1}N\alpha ^{x+t-2}+{\tfrac {t}{1}}\cdot {\tfrac {t-1}{2}}M^{t-2}N^{2}\alpha ^{x+t-4}+\ldots \right\}\;;$

or, on sait qu’à ces valeurs on peut substituer celles-ci

$Z_{x,t}={\tfrac {1}{M^{x}}}\phi (x+t)-{\tfrac {x}{1}}{\tfrac {N}{M^{x-1}}}\phi (x+t-2)+{\tfrac {x}{1}}\cdot {\tfrac {x-3}{2}}{\tfrac {N^{2}}{M^{x-2}}}\phi (x+t-4)-\ldots ,$

$Z_{x,t}=M^{t}\psi (x+t)+{\tfrac {t}{1}}M^{t-1}N\psi (x+t-2)+{\tfrac {t}{1}}\cdot {\tfrac {t-1}{2}}M^{t-2}N^{2}\psi (x+t-4)+\ldots ,$

puis encore celles-ci

$Z_{x,t}={\tfrac {1}{M^{x}}}Z_{0,x+t}-{\tfrac {x}{1}}{\tfrac {N}{M^{x-1}}}Z_{0,x+t-2}+{\tfrac {x}{1}}\cdot {\tfrac {x-3}{2}}{\tfrac {N^{2}}{M^{x-2}}}Z_{0,x+t-4}-\ldots ,$

1. Voyez le Traité de calcul différentiel et de calcul intégral de M. Lacroix ; tome III.^e, page 248, n.^o 1012.
   (Note des éditeurs.)