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RÉSOLUES.

Nous allons donner un exemple de chacune de ces deux questions.

Exemple I. On donne 4 jetons à $\mathrm {A}$ et 2 à $\mathrm {B}$ ; quelles doivent être leurs adresses respectives pour que l’espérance de $\mathrm {A}$ soit à celle de $\mathrm {B}$ comme 850 est à 81 ?

On a ici $X={\frac {850}{850+81}}={\frac {850}{931}}\,;$ on a de plus $p=4,q=2,$ et $p+q=6\;;$ donc

${\frac {850}{931}}={\frac {m^{2}\left(m^{4}-n^{4}\right)}{m^{6}-n^{6}}}={\frac {m^{2}\left(m^{2}-n^{2}\right)}{m^{4}+m^{2}n^{2}+n^{4}}}\,;$

ou, en chassant les dénominateurs, transposant, réduisant et divisant par $n^{4},$

$81\left({\frac {m}{n}}\right)^{4}+81\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}-850=0.$

Cette équation donne d’abord

$\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}={\frac {-81\pm 531}{162}}\,;$

rejetant la racine négative qui rendrait ${\frac {m}{n}}$ imaginaire, il vient

$\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}={\frac {25}{9}}$ d’où ${\frac {m}{n}}={\frac {5}{3}}\;;$

ainsi l’adresse de $\mathrm {A}$ doit être à celle de $\mathrm {B}$ dans le rapport de 5 à 3.

Exemple II. L’adresse de $\mathrm {A}$ étant à celle de $\mathrm {B}$ dans le rapport de 3 à 2, de quelle manière faut-il repartir 5 jetons entre eux pour que leurs espérances soient dans le rapport de 135 à 76 ?

On a ici $X={\frac {135}{135+76}}={\frac {135}{211}},\quad m=3,\quad n=2,\quad p+q=5,$ d’où $q=5-p\;;$ donc

${\frac {135}{211}}={\frac {3^{5-p}\left(3^{p}-2^{p}\right)}{3^{5}-2^{5}}}={\frac {3^{5}-2^{p}\cdot 3^{5-p}}{211}},$

ou

$135=243-243\cdot \left({\frac {2}{5}}\right)^{p},$