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RÉSOLUES.

ou encore

$(m\alpha -n)(\alpha -1)=0\,;$

ce qui donne pour $\alpha$ ces deux valeurs

$\alpha =1,\qquad \alpha ={\frac {n}{m}}$

d’où on conclura

$\alpha ^{x}=1,\qquad \alpha ^{x}=\left({\frac {n}{m}}\right)^{x}$

et par conséquent

$Z_{x}=G+H\left({\frac {n}{m}}\right)^{x},$

$G$ et $H$ étant des constantes arbitraires.

Pour déterminer ces constantes, nous remarquerons 1.^o que, si $\mathrm {A}$ n’avait plus aucun jeton, son espérance serait absolument nulle, puisque la partie se trouverait terminée au profit de $\mathrm {B}$ ; 2.^o qu’au contraire s’il avait $p+q$ jetons ; son espérance se trouverait changée en certitude, puisque la partie se trouverait terminée à son profit.

On voit donc que

à $x=0$ doit répondre $Z_{x}=0,$

à $x=p+q$ doit répondre $Z_{x}=1,$

ce qui donne les deux équations

$0=G+H,\qquad 1=G+H\left({\frac {n}{m}}\right)^{p+q}s\,;$

d’où

$G={\frac {m^{p+q}}{m^{p+q}-n^{p+q}}},\qquad H=-{\frac {m^{p+q}}{m^{p+q}-n^{p+q}}}\,;$

substituant donc dans la valeur de $Z_{x},$ elle deviendra

$Z_{x}={\frac {m^{x}-n^{x}}{m^{p+q}-n^{p+q}}}\cdot m^{p+q-x}\,;$