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QUESTIONS

nombre total des jetons des deux joueurs, on doit avoir $x_{p+q}=1\;$ donc

$1={\frac {m^{p+q}-n^{p+q}}{m^{p+q-1}(m-n)}}x_{1}$ d’où $x_{1}={\frac {(m-n)m^{p+q-1}}{m^{p+q}-n^{p+q}}};$

et partant

x_{p}={\frac {m^{q}(m^{p}-n^{p})}{m^{p+1}-n^{p+q}}}.

Ainsi $p$ étant le nombre des jetons de $\mathrm {A,}$ et $q$ le nombre des jetons de $\mathrm {B,}$ leurs espérances respectives sont

{\frac {m^{q}(m^{p}-n^{p})}{m^{p+q}-n^{p+q}}},\qquad {\frac {n^{p}(m^{q}-n^{q})}{m^{p+q}-n^{p+q}}}.

Remarque I. Ces expressions peuvent toujours être délivrées du facteur $m-n,$ commun à leur numérateur et à leur dénominateur.

Remarque II. Lorsque $m=n,$ ces expressions ainsi réduites deviennent

{\frac {p}{p+q}},\qquad {\frac {q}{p+q}}\;;

ainsi alors les espérances des deux joueurs sont proportionnelles à leurs nombres de jetons. Ce résultat est indiqué par le simple bon sens, mais il était convenable de le confirmer par le calcul.

Remarque III. La solution du problème proposé n’est pas compliquée par le retour aux mêmes états de distribution des jetons entre les deux joueurs, provenant des compensations de gains et de pertes ; bien que cette alternative de gains et de pertes ait une grande influence sur la durée du jeu.^[1]

Remarque IV. Plus $m$ est grand relativement à $n,$ et plus le

↑ On dit communément que, pour obtenir la probabilité d’un événement, il faut diviser le nombre des chances qui peuvent y donner lieu par le nombre total des chances, ou plus généralement, la somme des probabilités des chances qui peuvent y donner lieu par la somme des probabilités de toutes les chances ; et cela est exact. Mais il conviendrait d’ajouter qu’il y a des cas où cette méthode est impraticable, et tel est le cas de la question présente ; puisqu’à raison des retours aux mêmes états, qui peuvent se répéter indéfiniment, le nombre total des chances possibles et celui des chances d’où peut résulter l’événement dont on cherche la probabilité, sont, l’un et l’autre, infinis.
(Note des éditeurs.)

[1] On dit communément que, pour obtenir la probabilité d’un événement, il faut diviser le nombre des chances qui peuvent y donner lieu par le nombre total des chances, ou plus généralement, la somme des probabilités des chances qui peuvent y donner lieu par la somme des probabilités de toutes les chances ; et cela est exact. Mais il conviendrait d’ajouter qu’il y a des cas où cette méthode est impraticable, et tel est le cas de la question présente ; puisqu’à raison des retours aux mêmes états, qui peuvent se répéter indéfiniment, le nombre total des chances possibles et celui des chances d’où peut résulter l’événement dont on cherche la probabilité, sont, l’un et l’autre, infinis.
(Note des éditeurs.)

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