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RÉSOLUES.

Que l’état du jeu lorsque $\mathrm {A}$ a $p$ jetons et que $\mathrm {B}$ en a $q$ soit désigné par $\mathrm {A_{p},B_{q}}$ ;

Qu’enfin l’espérance de $\mathrm {A}$ lorsqu’il a $p$ jetons soit désignée par $x_{p}.$ À chaque distribution de jetons, le joueur $\mathrm {A}$ a $m$ cas pour obtenir un jeton de plus et $n$ cas pour en avoir un de moins.

En remarquant donc que, $x_{0}=0,$ on aura les équations

$\left.{\begin{aligned}x_{1}=&{\frac {m}{m+n}}x_{2},\\x_{2}=&{\frac {m}{m+n}}x_{3}+{\frac {n}{m+n}}x_{1},\\x_{3}=&{\frac {m}{m+n}}x_{4}+{\frac {n}{m+n}}x_{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\x_{p-1}=&{\frac {m}{m+n}}x_{p}+{\frac {n}{m+n}}x_{p-2}\,;\\\end{aligned}}\right\}$ d’où $\left\{{\begin{aligned}x_{2}=&{\frac {m+n}{m}}x_{1},\\x_{3}=&{\frac {m+n}{m}}x_{2}-{\frac {n}{m}}x_{1},\\x_{4}=&{\frac {m+n}{m}}x_{3}-{\frac {n}{m}}x_{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\x_{p}=&{\frac {m+n}{m}}x_{p-1}-{\frac {n}{m}}x_{p-2}\,;\\\end{aligned}}\right.$

Partant les attentes successives de $\mathrm {A}$ forment une suite récurrente dont l’échelle de relation est

$+{\tfrac {m+n}{m}},\quad -{\tfrac {n}{m}}.$

Cette suite provient du développement de la fraction

${\tfrac {1}{1-{\tfrac {m+n}{m}}z+{\tfrac {n}{m}}z^{2}}}={\tfrac {1}{\left(1-z\right)\left(1-{\tfrac {n}{m}}z\right)}}\,;$

laquelle équivaut à la somme de ces deux-ci

${\frac {m}{m-n}}\cdot {\frac {1}{1-z}}={\frac {m}{m-n}}\left(1+z+z^{2}+z^{3}+\ldots +z^{p-1}+\ldots \right),$

$-{\frac {n}{m-n}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {n}{m}}z}}={\frac {n}{m+n}}\left(1+{\frac {n}{m}}z+{\frac {n^{2}}{m^{2}}}z^{2}+\ldots +{\frac {n^{p-1}}{m^{p-1}}}z^{p-1}+\ldots \right)\,;$

Partant, on doit avoir,

$x_{p}={\tfrac {m^{p}-n^{p}}{m^{p-1}(m-n)}}x_{1}\,;$

mais, si l’on suppose que $p$ devienne $p+q$ et que $p+q$ soit le