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DISCUSSION DES LIGNES

Soit reprise l’équation

$ay^{2}+bxy+cx^{2}+dy+ex+f=0\,;\qquad \mathrm {(M)}$

et, outre le point de la courbe dont les coordonnées sont $x$ et $y,$ considérons-en un autre dont les coordonnées soient $x'$ et $y'$ ; nous aurons pour ce nouveau point.

$ay'^{2}+bx'y'+cx'^{2}+dy'+ex'+f=0\,;\qquad \mathrm {(M')}$

posons

$(x-x')^{2}+(y-y')^{2}=$maximum ;$\qquad \mathrm {(N)}$

nos deux points seront alors les extrémités de la plus grande corde de la courbe.

L’équation $\mathrm {(N)}$ revient à

$(x-x')(\delta x-\delta x')+(y-y')(\delta y-\delta y')=0\,;\quad (n)$

d’un autre côté, on tire des équations $\mathrm {(M)}$ et $\mathrm {(M')}$

$(2ay+bx+d)\delta y+(2cx+by+e)\delta x=0,\qquad (m)$

$(2ay'+bx'+d)\delta y'+(2cx'+by'+e)\delta x'=0,\quad (m')$

ajoutant les produits de ces deux dernières par les multiplicateurs indéterminés $\lambda$ et $-\lambda '$ à l’équation (n) il viendra

$\left.{\begin{aligned}&\left[(x-x')+\lambda (2cx+by+e)\right]\lambda x-\left[(x-x')+\lambda '(2cx'+by'+e)\right]\lambda x'\\+&\left[(y-y')+\lambda (2ay+bx+d)\right]\lambda y-\left[(y-y')+\lambda '(2ay'+bx'+d)\right]\lambda y'\\\end{aligned}}\right\}=0\,;$

donc

$(x-x')+\lambda (2cx+by+e)=0,\quad (x-x')+\lambda '(2cx'+by'+e)=0,$

$(y-y')+\lambda (2ay+bx+d)=0,\quad (y-y')+\lambda '(2ay'+bx'+d)=0\,;$

éliminant $\lambda$ et $\lambda '$ entre ces équations, elles deviendront

$(2ay+bx+d)(x-x')=(2cx+by+e)(y-y'),\qquad \mathrm {(P)}$

$(2ay'+bx'+d)(x-x')=(2cx'+by'+e)(y-y').\qquad \mathrm {(P')}$

On satisfait à ces équations, quel que soit le premier des points pris sur la courbe, en supposant que le second se confond avec lui, ce qui donne sur-le-champ la direction de la tangente en ce point, ainsi que cela doit être.